柱体、锥体的展开与折叠优秀公开课教案

1.2 展开与折叠

〖知识与技能目标：〗

1．认识到立体图形与平面图形的关系，了解一些立体图形可由平面图形围成，一些立体图形可展开成平面图形，发展空间观念；

２．由观察、折叠等数学活动认识棱柱的某些特征；

3．了解直棱柱的侧面展开图，能由侧面展开图想象出棱柱。

〖过程与方法：〗

通过数学活动经历和体验图形的变化过程，培养学生动手实践和解决问题能力及语言归纳能力，发展空间观念。

〖情感态度与价值观：〗

让学生主动探索，勇于发现，敢于表达，合作交流感受数学活动的生动魅力，激发学生学习数学的兴趣。

〖教学重点、难点：〗

重点：通过数学活动认识棱柱的特征，能感受到研究空间问题的思维方法。

难点：正确判断哪些图形可以折叠成棱柱。

〖教学方法：〗

引导发现法

【基础知识精讲】

1．棱柱的分类

我们已经了解了棱柱，那么棱柱之间是否还有区别呢？

通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……长方体和正方体都是四棱柱．

2．棱柱的特点

若有若干几何体，你能立刻找到棱柱吗？棱柱有什么与众不同的特征呢？

(1)棱柱的上、下底面是完全相同且互相平行的多边形．

(2)棱柱的侧面都是矩形．

(3)棱柱的侧棱长都相等．

(4)棱柱各元素间的数量关系如下：

名称

底面形状

顶点数

棱数

侧棱数

侧面数

侧面形状

总面数

n棱柱

n边形

2n个

3n个

n条

n个

长方形

(n＋2)个

3．部分几何体的平面展开图．

将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？

(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．

图1—9 (2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．

1

图1—10 (3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)

图1—11 4．能折成棱柱的平面图形的特征

我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．比如：棱柱．若能折成棱柱，一定要符合以下特点：

(1)棱柱的底面边数＝侧面数．

(2)棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两端．

(3)四棱柱的平面展开图中只有5条相连的棱．

5．正方体的平面展开图

在课本中、习题中会经常遇到让大家辨认正方体表面展开图的题目．为了查阅方便，在此列出正方体的十一种展开图，供大家参考．

图1—12

【学习方法指导】

［例1］三棱柱有_______条棱，_______个面，其中侧面是_______形，_______面的形状一定完全相同．

点拨：n棱柱的数量特征如下：它有3n条棱，(n＋2)个面，侧面一定是长方形．对于完全相同的面则需注意．棱柱的侧棱都是相等的但底面边长不一定相等，因此以底面边长和侧棱为长和宽的侧面的大小不一定相同．如：

2

图1—13 易错点：

(1)“三棱柱的侧面是三角形．”是常出现的错误，一定要记住：棱柱的侧面是长方形．

(2)“侧面都相等．”这也是易犯的错误．侧棱长都相等，易使学生误认为侧面也全都相同．

解答：9

5

长方

上、下底

［例2］一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长和为36 cm，求每条侧棱的长．

点拨：先根据棱柱的数量特征，由顶点数求出是几棱柱，则相应有几条侧棱，再由侧棱长相等，求出结果．

解：有12个顶点的棱柱是六棱柱，有6条侧棱．则每条侧棱长36÷6＝6 cm．

答：每条侧棱长6 cm．

［例3］图1—14所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的？

(1)

(2)

(3)

图1—14 点拨：找几何体的表面展开图，关键是看侧面和底面的形状．

底面是圆的几何体有圆柱、圆锥、圆台．

侧面是扇形的几何体是圆锥．

侧面是长方形的几何体是棱柱、圆柱．

解答：(1)圆锥；(2)圆柱；(3)圆台．

［例4］下面图形经过折叠能否围成棱柱？

图1—15 点拨：看能否围成棱柱，可参考“内容全解4”中的几条内容，如有不符合，就不能围成棱柱．

解答：(1)侧面数(4个)≠底面边数(3条)，不能围成棱柱．

(2)两底面在侧面展开图的同一端，不在两端，所以也不能围成棱柱．

(3)可以折成棱柱．

［例5］一个正方体纸盒沿棱剪开，最多剪几条棱？最少呢？

点拨：正方体是四棱柱，共有12条棱，要剪开纸盒使每个面相连，必须剪开部分棱，棱的总数不变(即12)，若知道剩下未被剪开的棱数，就可以得到剪开的棱数了．

解答：由正方体平面展开图知正方体的所有展开图中都只有5条相连的棱，而正方体共有12条棱，那么需要剪开的棱数就是12－5＝7条了．

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【拓展训练】

1．矩形、长方形和正方形都可称为矩形．

2．圆台与棱锥的展开图．

(1)圆台：圆台的展开图是由大小两个圆(作底)和部分扇形(作侧面)组成的．

图1—16 (2)棱锥：棱锥的展开图是由一个多边形(作底)和几个三角形(作侧面)组成的．

图1—17

图1—18

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