4. 速度变化快慢的描述——加速度教学设计思路

1.6 速度变化快慢的描述—加速度

第一课时

[目标定位]

1.了解位移公式的推导过程，理解公式的含义，知道位移对应vt图象与坐标轴1围成的面积.2.会利用公式x＝v0t＋at2和匀变速直线运动的vt图象解决有关问题.3.了解匀速2直线运动的xt图象的意义、特点，会用它处理简单的相关问题．

一、匀变速直线运动的位移与时间的关系

1．在匀变速直线运动中(如图161所示)：物体的位移等于vt图线下面梯形的面积．

图161 v0＋vtt2．匀变速直线运动的位移公式：由梯形面积

x＝

2将速度公式vt＝v0＋at代入上式得

1匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2. 23．匀变速直线运动某段时间t的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度．

v0＋vtt公式：v＝v2

＝. 2二、位移—时间图象(xt图象) 1．定义：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象叫位移—时间图象．

2．静止物体的xt图象：是一条平行于时间轴的直线．

3．匀速直线运动的xt图象：是一条倾斜的的直线．

4．匀变速直线运动的xt关系为二次函数，故为曲线．

想一想：

如果质点的位移—时间图象是一条平行于时间轴的直线，但是在x的负半轴上，这表示质点做什么运动呢？

答案

只要是平行与时间轴的位移—时间图象即表示物体静止.

一、匀变速直线运动的位移公式及有关计算

11．位移时间公式x＝v0t＋at2的推导

2在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得vt图象与时间轴所围成的“面积”表示位移．如图162所示，

图162 1速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)×OA

21与之对应的物体的位移x＝(v0＋v)t；

21由速度公式v＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋at2. 212．对位移公式x＝v0t＋at2的理解：

2(1)适用条件：匀变速直线运动．

1(2)公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，2一般选初速度v0的方向为正方向．

①若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值．

②若位移的计算结果为正值，说明位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移的方向与规定的正方向相反．

(3)两种特殊形式：

①当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．

1②当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．

23．用速度—时间图象求位移

图线与时间轴所围成的面积表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．

例1

一辆汽车以1 m/s2

的加速度加速行驶了12 s，驶过了180 m，汽车开始加速时的速度为多少？

解析

以汽车初速度方向为正方向，运动示意图如下：

1由x＝v0t＋at2得：

2x11801v0＝－at＝

m/s－×1×12 m/s＝9 m/s t2122答案

9 m/s 例2

(2013～2014江苏高一期中)物体由静止开始在水平面上行驶，0～6 s内的加速度随时间变化的图线如图163所示．

图163 (1)画出物体在0～6 s内的vt图线；

(2)求在这6 s内物体的位移．

解析

(1)第1秒内为初速度为0的匀加速直线运动，末速度v1＝at＝4 m/s，速度—时间图象是倾斜的直线，2～4 s加速度为0，速度不变为匀速直线运动，4～6 s初速度即第1秒的末速度v1＝4 m/s，加速度a′＝－2 m/s2，末速度v6＝v1＋a′t＝0，第1秒和最后2秒的速度—时间是倾斜的直线，图象如图．

3＋6×4(2)速度—时间图象所围成的面积代表位移，即x＝

m＝18 m. 2答案

(1)见解析图

(2)18 m 二、位移—时间图象(xt图象) 1．几种常见的位移—时间图象，如图164所示．

图164 (1)静止的物体的vt图象是平行于时间轴的直线，如图a. (2)匀速直线运动的vt图象是一条倾斜的直线，如图b. (3)匀变速直线运动的vt图象是抛物线，如图c. 2．对xt图象的几点说明

(1)纵坐标：初、末位置的纵坐标差的绝对值表示位移的大小；初、末位置纵坐标差的正负号表示位移的方向：正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向．

(2)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负号表示速度的方向：斜率为正值，表示速度为正方向；斜率为负，表示速度为负方向．

(3)截距：纵截距表示物体起始位置，横截距表示物体开始运动的时刻．

(4)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．

3．注意：①无论是xt图象还是vt图象都不是物体的运动轨迹．

②xt图象和vt图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动．

例3

(2013～2014江西高一期中)如图165所示，是在同一条直线上运动的A、B两质点的位移—时间图象，由图可知(

)

图165 A．t＝0时，A在B后面

B．B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面

C．在0～t1时间内B的运动速度比A大

D．A物体在0～t1做加速运动，之后做匀速运动

解析

由图象可知，t＝0时，B在A后面，故A不对；B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A，故B的运动速度比A小，C不对；A物体在0－

t1做匀速运动，故D不对．

答案

B 三、刹车类问题

车辆刹车类问题是实际问题，刹车后的车辆可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，v0车辆就会停止．解答此类问题的思路是：先求出车辆从刹车到静止的刹车时间t刹＝，再a比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．

注意：对于末速度为零的匀减速直线运动，也可采用逆向思维法，即把运动倒过来看成是初速度为零的匀加速直线运动．

例4

一辆汽车以108 km/h的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程的加速度的大小为6 m/s2，则从开始刹车经过7 s汽车通过的距离是多少？

解析

设刹车开始至汽车停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．v0＝108 km/h＝30 v－v00－30m/s，由v＝v0＋at得t0＝＝

s＝5 s. a61法一

可见，汽车刹车时间为5 s，之后汽车是静止的．由x＝v0t＋at2知刹车7 s内通过的2

121距离等于刹车5 s内经过的位移，由x＝v0t0＋at0＝30×5 m＋×(－6)×52 m＝75 m. 22112法二

逆向思维法：把汽车的运动看做反向的加速运动：x＝at20＝×6×5 m＝75 m. 22答案

75 m

匀变速直线运动的位移及有关计算

1．某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，下列说法正确的是(

) A．v0＝4 m/s，a＝4 m/s2

C．2 s内的位移为24 m

B．v0＝4 m/s，a＝8 m/s2

D．2 s末的速度为24 m/s 1解析

将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定v0＝4 m/s，a＝8 2m/s2，A错误，B正确；把t＝2 s代入公式可得x＝24 m，C正确；由于v＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2 s代入可得v＝20 m/s，D错误．

答案

BC 2．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是(

) A．6 m

B．8 m

C．4 m

D．1.6 m v14解析

根据速度时间公式v1＝at，得a＝＝

m/s2＝4 m/s2.第1 s末的速度等于第2 s初的t111速度，所以物体在第2 s内的位移x2＝v1t＋at2＝4×1＋×4×1 m＝6 m．故选A. 22答案

A 位移—时间图象(xt图象) 3．(2013四川绵阳期末)一质点沿一条直线运动的位移—时间图象如图166所示，则(

)

图166 A．t＝0时刻，质点在坐标原点

B．从t＝0时刻到t1时刻，质点位移是x0

C．从t1时刻到t2时刻，质点位移大小等于路程

D．质点在t1时刻的速度比t2时刻的速度大

解析

由于图象是xt图象，纵轴的交点x0表示t＝0时刻的位置，不是从t1时刻到t2时刻的

位移，由于倾斜直线表示物体做匀速直线运动，从t1时刻到t2时刻，质点位移大小等于路程，在t1时刻的速度和t2时刻的速度相等，故C正确．

答案

C 刹车类问题

4．(2013成都六校联考)在平直公路上，汽车以15 m/s的速度做匀速直线运动，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则刹车后10 s内汽车的位移大小为(

) A．50 m

C．75 m

B．56.25 m D．150 m 解析

设刹车开始至汽车停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．

v－v00－15由v＝v0＋at得t0＝＝

s＝7.5 s a－2可见，汽车刹车时间为7.5 s，之后汽车是静止的．

1由x＝v0t＋at2知刹车10 s内通过的距离等于刹车7.5 s内经过的位移，

2121由x＝v0t0＋at0＝15×7.5 m＋×(－2)×7.52 m 22＝56.25 m. 答案

B 5．一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5 m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10 m/s，求：

(1)刹车开始后1 s内的位移大小；

(2)刹车开始后3 s内的位移大小和3 s内的平均速度大小．

11解析

(1)x＝v0t1＋at2＝10×1 m＋×(－5)×1 m 212解得x＝7.5 m. (2)设经时间t0停下

0－v00－10t0＝＝

s＝2 s a－5t2＝3 s的位移大小等于前2 s内的位移大小

11x2＝v0t0＋at2＝10×2 m＋×(－5)×22 m＝10 m 022x2103 s内的平均速度v＝＝

m/s. t2310答案

(1)7.5 m (2) m/s 3