6. 匀变速直线运动位移与时间的关系含PPT的教学设计及点评

§1.6匀变速直线运动的位移与时间的关系

教材分析：

教材首先分析匀速直线运动的位移与v-t图像中矩形面积的对应关系，在此基础上运用极限和近似的方法得出匀变速直线运动的v-t图像中梯形面积表示位移的结论，并进一步推导出匀变速直线运动的位移公式xv0t12at，最后利用公式讨论匀变速直线运动的位移2随时间变化的规律。本节内容第一次用“面积”来表示纵坐标对横坐标的累积效果，目的是让学生养成科学思维和研究方法的同时培养运用数学工具解决物理问题的能力。

教学目标：

知识与技能：

1.

知道匀速直线运动的位移与v-t图线下围成的矩形面积的对应关系

2.

理解匀变速直线运动的位移与v-t图像中四边形面积的对应关系，使学生感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法

3.

理解匀变速直线运动的位移与时间的关系

过程与方法：

1.

经历匀变速直线运动位移规律的探究过程，感悟科学的探究方法

2.

渗透物理思想方法，尝试用数学方法解决物理问题

情感态度与价值观：

1.

激发学生对科学探究的热情，感悟物理思想方法，培养科学精神

重点难点：

重点：根据匀速直线运动的位移与v-t图线下所围矩形面积的对应关系，探究匀变速直线运动位移与时间关系的应用

难点：用微元法推导匀变速直线运动位移与时间的关系

学情分析：

本节内容是学生在学过了瞬时速度、匀速直线运动的位移基础上，探究匀变速直线运动位移与时间的关系，并且学生已初步了解了极限的思想。通过本节的学习，让学生体会“v-t图线与时间轴所围的面积代表匀变速直线运动的位移”的过程，逐步渗透“无限分割再求和”这种微元法的思想。

教学资源：

多媒体教学设备、打点计时器、纸带、刻度尺

教学方法：

实验探究法、微元法、讨论法

教学过程：

新课引入：

（刘徽割圆术）

师：我国南北朝时期数学家祖冲之将圆周率精确到了小数点后第7位，其实在祖冲之之前魏晋时期数学家刘徽已经能够将圆周率精确到第4位3.1416，那么他是怎么实现的呢？我们一起重现一下刘徽的割圆术。

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣

师：刘徽的这段话是什么意思呢？

生：如果我们在圆的内部取一个内接正多边形，将正多变形外侧多余的部分切割掉，便可用正多边形的面积估算圆的面积，如果所切割的正多边形的边数越多，被切割掉的圆的面积就越少，这就是割之弥细，所失弥少；如果正多边形的边数多到不能对圆进行切割的时候，正多边形就与圆相重合，正多边形的面积就与圆的面积相等，这也就是割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。

师：刘徽当时利用了圆的内接正3072边形的面积代替圆的面积，从而使了圆周率的大小精确到了小数点后的第4位。这种割圆术运用了我们物理学中的什么思想？（极限思想）

师：这节课我们借助刘徽所采用的这个思想研究匀变速直线运动位移与时间的关系。

新课讲授：

1.

匀速直线运动的位移

师：要探究匀变速直线运动的位移与时间的关系，我们首先从了解简单运动位移与时间的关系开始研究

师：目前，我们所了解到的最简单运动是什么运动？（匀速直线运动）

那反映匀速直线运动的位移与时间关系的方法有哪些？

生：x=vt

师：这是匀速直线运动的位移时间关系式，我们把它称作为数学公式法。

我们知道匀速直线运动的图像是一条平行于时间轴的直线。位移等于速度乘上时间，刚好就是匀速直线运动速度时间图线与两个坐标轴所围成图形的面积（配合投影指出图像中的速度、时间），这种表示方法，我们称为图像法。

师：x=vt是匀速直线运动位移的公式，它表示的是数量之间的关系，v-t图线与坐标轴所围图像的面积表示匀速直线运动的位移，它是一种图形。通过刚才的分析，我们发现这位移公式x=vt和v-t图像中图线与时间轴所围的面积，两者是统一的并可以相互转化。这种转化我们可以概括为以数解形，或者是以形助数。数与形的这种对应关系就为我们解决我们所要探究的问题提供了一种新的思路。

2.

匀变速直线运动的位移

师：既然匀速直线运动的位移时间关系式与图像之间存在这种对应关系，那么匀变速直线运动的位移是否也等于其v-t图线与坐标轴所围成图像的面积呢？我们是否也可以从匀变速直线运动的v-t图像得出匀变速直线运动的位移时间关系式呢？

生：满足/不满足

师：要验证我们的猜想是否正确，我们需要设计实验进行验证。

（一）实验验证

师：接下来，请同学们以小组为单位设计实验方案，并回答下列问题（5分钟）：

①实验中我们要验证的是哪两个量的关系？

（匀变速直线运动的位移与匀变速直线运动图线与坐标轴所围图像的面积是否相等）

②如何获得我们实验所要研究的匀变速直线运动，怎么验证我们所获得的运动是匀变速直线运动

（我们可以让小车在钩码的牵引下做匀变速直线运动，如果小车所做的运动是匀变速直线运动，它的v-t图像是一条倾斜的直线。）

③实验中我们需要哪些实验器材，如何测量小车运动速度

（实验器材：小车，钩码，打点计时器，纸带，电源，刻度尺，小车的速度可以通过计算纸带上的点迹的速度获得，纸带上某点的速度等于相邻两点间的平均速度）

师：接下来，请同学们汇报一下你们的实验方案

生：①连接实验仪器②打纸带③处理纸带④作v-t图像

师：接下来，请同学们组内分工，动手完成实验

1人组织分工，1人控制小车，1人控制打点计时器，2人处理数据，1人绘图

学生动手实验，完成表格，并绘制小车运动的v-t图像

计数点

0

1

2

3

4

5

6

7 时间t/s

位置x/m

速度v(m/s)

①纸带两端计数点点间的位移：

②小车运动图线与坐标轴所围图线的面积：

实验结论：

小组代表将数据填入电子表格，教师演示作图

师：同学们，根据这组同学的数据，我们可以选用Excel中所提供的作图功能，作出小车运动的v-t图像。

师：（教师演示）①首先我们选中时间和速度两栏数据，②然后选择插入功能中的散点图，我们就将各时刻对应的速度描写在了坐标纸上，这就相当于我们作图中的描点，③然后我们选择添加趋势线，我们就绘出了小车运动的速度时间图像，根据图像我们可以得出小车运动的图像是一条倾斜的直线，说明小车的运动是匀加速直线运动属于匀变速直线运动。

师：根据小车匀变速直线运动的图像，我们就可以验证我们的猜想是否正确。通过图像我们可以看到小车图线与坐标纸所围的图形为梯形，通过图线我们可以得到梯形的上底

、下底

、高

，通过计算我们得到梯形的面积为

。

小车运动的实际位移我们可以通过刻度尺量出两计数点间的位移为

。

师：因此我们可以得出：在误差允许的范围内，做匀变速直线运动的小车的位移等于其v-t

图线与坐标轴所围成的面积。

师：其他小组的同学是否也得到了相同的结论呢？请把你们的实验结果展示给大家看看（可以手机投影展示其他小组的数据）

（二）理论推导

过渡：刚才我们通过实验探究的方式验证了我们的猜想，我们还可以通过理论推导的方式得到的结论。

师：这是我们刚才实验中得到的纸带，在这里我们每2个点选一个计数点，请同学们思考

【思考与讨论1】：下面的方法可以估算计数点0到计数点5的位移吗？为什么？

师：我用第1段的初速度乘上第1段的时间……，我能否用这样的方法粗略的估算一下从计数点0到计数点5的位移呢？强调只是简单的估算。（得到学生肯定后，再利用图像进行分析）

师：对刚才的估算，我们可以用图像表示第1段的初速度×第1段的时间就我们所估算的第1段的位移，刚好就是红色区域的面积，依次同理。在这里所有红色矩形区域的面积之和就是我们对纸带上两计数点间位移的估算。图像中的红色矩形面积之和就相当于割圆术中的正多边形，梯形面积就相当于圆。

师：如果我仅是估算，那么这种方法是可取的，但其与真实的结果相比较，结果是偏大呢？还是偏小？

生：会偏小，（为什么）因为物体做的是匀变速运动，做匀变速运动的物体速度会不断增加

【思考与讨论2】：如果将每一个打出来的点都标为计数点，用相同的方法计算如下：

计算结果与第一次计算结果相比较，误差会怎样？

师：请同学们思考，还是刚才的纸带，如果我们将每一个打出来的点都标记为计数点，再用第1段的初速度乘上第1段的时间……依次相加，那么这一次的计算结果与第1次的计算结果相比较，误差会怎样呢？

生：会减小误差

师：为什么能够减少误差呢？因为我们选择的这每一小段的初速度更接近每一段的速度

师：对刚才的估算，我们用图像表示为，每1小段的初速度×每1小段的时间，就是这么一块矩形区域的面积，所有的矩形面积加起来就是图中红色区域的面积，它就代表我们对纸带上两计数点点间位移的估算。

师：与上一幅图相比较，他们有什么差异？（我们将时间间隔分割的更细，红色区域的面积更多，所以结果更加精确，红色区域与倾斜直线间的空隙变的更小）这就是割圆术中的，割之弥细，所失弥少

【思考与讨论3】如果相邻两个计数点之间的时间更小（为0.01s），同样用这种方法计

算如下：

计算结果与第二次计算结果相比较，误差会怎样？

师：请同学们思考，如果我把时间分的更小，此时通过这种方法对两点间位移的估算误差就更？

生：误差更小

师：如果我们将相邻两个计数点之间的时间取为无穷小，那么计算结果如何又如何？（那么计算结果的误差就会无穷小，小到我们的计算值与真实值近似相等，如果时间间隔再继续小，小到不能再小，这是的计算结果就为真实值。）这就是割圆术中的，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣

师：我们用图像表示的话，这些矩形的面积之和就和这个梯形的面积重合了。这样的话我们就可以用这个梯形的面积代表匀变速直线运动的位移。

结论：因此我们可以得出，在匀变速直线运动的v-t图像中，图线与时间轴围成的面积代表其位移。

（三）匀变速直线运动的位移时间关系式的推导

过渡：我们从实验探究和理论推导两个方面分别得出，在匀变速直线运动的v-t图像中，图线与时间轴围成的面积代表其位移。既然匀变速直线运动的图像面积与其位移存在对应关系，我们也应该能够从图像中得出匀变速直线运动的位移与时间的关系式。

师：梯形的面积等于……

其中中梯形的面积对应匀变速直线运动的位移x，上底对应匀变速直线运动的初速度v0下底对应匀变速直线运动的末速度v，高对应匀变速直线运动的时间t，因此我们可以将匀

变速直线运动的位移表示为

对于一匀变速直线运动，初速度v0和加速度a是一个固定不变的量，公式中，末速度v会随时间t发生变化，我们可以将末速度v用含有初速度和加速度的公式v=v0+at代换。这样，我们就得到匀变速直线运动的位移与时间的关系。

（四）匀变速直线运动位移时间关系式的理解

①

矢量性

师：我们观察一下匀变速直线运动位移时间关系式，公式中哪些物理量是矢量？

生：x、v、a

师：因此我们刚才得到关系式是矢量式，因此我们在应用公式解决问题时首先要选择正方向，一般我们选择初速度的方向为正方向。

②

两种特殊情况

师：我们再来看一下公式中的两种特殊情况：

如果做匀变速直线运动物体的初速度v0=0，公式便可以写作x=12at2，它表示做初速度为0的匀变速直线运动的位移

如果加速度为a=0，公式便可以写作x=v0t，它表示物体做匀速直线运动

③

公式与图像的对应关系

师：（展示匀变速直线运动v-t图像）匀变速直线运动的v-t图线与坐标轴所围图像的面积代表其位移，其图像为一梯形，梯形的面积我们可以认为由一块矩形面积和一块三角形的面积组成。

其中矩形图像的面积等于v0t它表示物体做速度为v0的匀速直线运动的位移

三角形图像的面积等于12底×高，底为时间，高为速度的增加量，它表示物体做初速度为0的匀加速运动的位移。

因此，匀加速直线运动的位移时间关系式x=v0t+积，1212at2，其中v0t对应着图中的矩形的面at2对应着图中三角形的面积。

师：在匀减速直线运动中，这块梯形的面积=矩形的面积-三角形的面积，因此匀减速直线运动的位移可以写作

师：在v-t图像中我们再次理解了公式，以及公式两部分的对应关系，并且了解到公式不仅适用于匀加速直线运动，还适用于匀减速直线运动，因此公式适用范围为匀变速直线运动。

④

位移与时间的图像

师：对于匀速直线运动x=vt，其位移时间关系可以用图像表示出来，由于x与成t正比例，所以图像为一条过原点的倾斜的直线。

x 0

t 12对于匀变速直线运动它的位移图像是什么样子的呢？其位移时间关系式为x=v0t+2at，它与我们初中学习的一次函数还是二次函数相像呢？（二次函数）

师：我们知道二次函数的图像是一条抛物线，那么匀变速直线运动的位移时间图像是不是也一条抛物线呢？

我们再次使用Excel的作图功能，①首先我们选中位移和时间两栏数据，②然后选择插入，选择散点图，我们便将纸带中各点的数据描在坐标纸上了，③然后我们选中添加趋势线和显示公式。

通过观察我们可以发现，匀变速直线运动的位移时间关系图是一条抛物线，由于时间不能为负，所以是抛物线的一部分。

我们还能得出图像函数的表达式为y=ax2+bx+c，其中y对应着公式中的位移x，x对应着公式中的时间t，系数a对应着公式中的12a，系数b对应着公式中的v0，c=0 问题：匀变速直线运动的x-t图线是一条抛物线，这与物体做直线运动相矛盾吗？

生：x-t反映的是做匀变速直线运动的物体位移随时间变化的大小关系；直线运动是物体运动的轨迹，两者并不相连。

3.

课堂习题：

一辆汽车以20m/s的速度行驶，现因故刹车，刹车过程中做匀减速直线运动，并最终停止运动，已知汽车刹车过程的加速度大小是5m/s2。则汽车从开始刹车经过5s所通过的距离是多少？

学生板演，投影解题过程

师：指明公式中速度和加速的正负。先分析刹车时间的，再分析计算过程。

课堂小结：

师：接下来请同学们回顾一下，通过这节课的学习，我们有什么收获？

生：

我们通过实验探究的方法和理论推导的方法得出匀变速直线运动的v-t图线与时间轴所围梯形面积等于匀变速直线运动的位移

通过计算梯形的面积，我们得到了匀变速直线运动的位移时间公式x=v0t+通过分析公式，我们理解了匀变速直线运动的x与t的关系

12at2 板书：

§2.6匀变速直线运动的位移与时间的关系

1.

匀速直线运动的位移 （四）匀变速直线运动位移时间关系式理解

2.

匀变速直线运动的位移 ①公式与图像的对应关系

（一）实验探究 ②两种特殊情况

（二）理论推导 ③矢量性

（三）匀变速直线运动位移时间关系式的推导 ④位移与时间的图像

x=v0t+12at2

教学反思：