7.6 用锐角三角函数解决问题教学设计(第一课时)

7.6锐角三角函数的应用1（教案设计）

九年级数学 丰富初中 陈群

教学目标：1．知识与技能：

（1）掌握斜坡坡度i，了解并学会用三角函数的有关知识解决工程中相关实际问题；

（2）能把实际问题转化为数学问题，能借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；

2．过程与方法：经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决实际过程中的作用；

3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．

教学重点：利用坡度i与坡角之间的关系为itan解决实际问题．

教学难点：三角函数在解决问题中的灵活运用．

教学过程：

一、检查预习

如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC．斜坡AB＝10m，大坝高为8m．（右图）

（1）斜坡AB的坡度iAB＝___．

（2）如果坡度iAB＝1∶3，则坡角∠B＝___．

（3）如果坡度iAB＝1∶2，AB＝8m，则大坝高度为___ AD要求：基础回顾，让学生了解掌握坡角和坡度（学生独立完成，然后互相交流）．

BEC二探索活动

活动一：如图，小明从点A处出发，沿着坡度为10°的斜坡向上走了120m到达点B，然后又沿着坡度为15°的斜坡向上走了160m到达点C，问点C相对于起点A升高了多少？cos100.98，sin150.26，（精确到0.1m）（参考：sin100.17，

cos150.97）（右图）

CB10°15°DA

通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维

能力．

活动二：学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3（即为CD与BC的长度之比）．

A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．

要求：师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．

三、新知：

四、例题

1．例题讲解

如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度β为1∶1.2，

坝顶宽DC＝2.5米，坝高4.5米．

求：（1）背水坡AD的坡角β（精确到0.1°）；

（2）坝底宽AB的长（精确到0.1米）．

DCAβ

FEαB要求：学生独立思考后，回答问题．

巩固熟练掌握坡度与坡角，通过练习，进一步提升学生把实际问题抽象为几何问题的能力

2．思考：在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1∶1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1米3）

．

五、练一练

1．如图，某人在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处

的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1∶，点P、H、B、C、A在同一个平面上的点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．则A、B两点间的距离是（

）

引导学生思考：

（1）

给出的坡度这个条件有什么作用？

（2）

三角形PBA是特殊三角形吗？有何

作用？

通过练习，进一步提升学生把实际问题抽象为几何问题的能力

2．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台

风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角AEF23°，量得树干倾斜角BAC38°，大树被折断部分和坡面所成的角ADC60°，AD4m．

（1）求CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？

（结果精确到个位，参考数据：21.4，31.7，62.4）．

锻炼学生抓住问题本质、化繁为简的能力

引导学生思考：

（1）

需要做辅助线吗？

可以用多种方法求出树的高度吗？

小结

7.6锐角三角函数的简单应用1（作业与板书设计）

板书

§7.6 三角函数的应用1

⑴三角形中的元素定义，各元素之例题

间的关系

(2)坡度i与坡角

作业设计

1．如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．

例1

例2

练习

计算：

2．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.

3．如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19)

4．2016·济宁某地一天桥如图28－2－30所示，天桥高6米，坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶3. (1)求新坡面的坡角α；

(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

课后作业

1．如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为30º。求它摆动至最高位置与最低位置的高度之差（结果保留根号）．

[来源:Zxxk.Com]

2．某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度(如CD)均为30cm，高度(如BE)均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)

来源:Zxxk.Com]

3．某大型超市为方便顾客购物，准备在一至二楼之间安装电梯，如图所示，楼顶与地面平行。要使身高2米以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时，在B处不碰到头部。请你帮该超市设计，电梯与一楼地面的夹角α最小为多少度？

来源:Z_xx_k.Com]

4.小敏家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）。它的横截面为如图（2）所示的四边形ABCD，∠BCD45，ABBC，D到BC的距离DE为1米。已知AB3米，BC6米，矩形棚顶ADDA及矩形DCCD由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250，295.39）

元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）（参考数据21.41源:Zxxk.Com]

A D B 图2 E C

【能力升级】

5. 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66. 5°．

(1)求点D与点C的高度差DH；

(2)求所用不锈钢材料的总长度l(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)．

(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)