*5 一元二次方程的根与系数的关系公开课教学设计模版

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《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

梅州市五华县马汕曾镜明中学

魏惠清

教学目标：

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

教学重点：

掌握一元二次方程根与系数的关系．

教学难点：

不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.．

教学过程：

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：探究新知；第三环节：范例学习；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾

内容：

1.一元二次方程的求根公式是什么？

2.对一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0)如何用根的判别式 b2 - 4ac 来判断方程根的情况？

b - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.

3.完全平方公式及其演绎变型

222(a+b)2=a2+b2+2ab a+b=(a+b)-2ab

22 (a-b)2=a2+b2-2ab (a-b)=(a+b)-4ab

2

第二环节：探究新知

1、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

222(1)x－2x+1＝0 (2)x-53x+6＝0 (3)2x+3x＋1＝0.

2、猜一猜

通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？

x1+x2=bc，x1x2=

aa3、证明结论，分小组讨论问题，并作出推理证明。

2由一元二次方程ax＋bx＋c＝0的求根公式知

22bb4acbb4ac

x1=，x2=2a2a22bb4acbb4ac

所以x1x2=+2a2a22bb4acbb4ac= =2a22bb4acbb4ac

x1.x2=×2a2a22(bb4ac)(bb4ac)=(=4a2)2(4a2)2= 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为

x1+x2=bc，x1x2=

aa4、归纳总结

一元二次方程的根与系数的关系

（韦达定理）

如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么

x1+x2=bc，x1x2=

aa着重强调前提条件：b2-4ac≥0.

第三环节：范例学习

1、例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1）x2 + 7x + 6 = 0;

（2）2x2 - 3x - 2 = 0. 2、巩固练习

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2

-3x -1 = 0;

（2）3x2 + 2x -5 = 0; 第四环节：尝试发展

1、例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 2、变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 3、当堂练习

（1）、如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. （2）、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是

_________; （3）、若方程x2+x+m=0的两个实数根互为倒数，那么m的值是_________; （4）、若方程x2+x+m=0的有一个实数根为0，那么m的值是___________; 效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷，

第五环节：拓展创新

1、例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 2、总结常见的求值:

效果：（1）、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点

（2）、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。

（3）、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。

第六环节 感悟与收获

内容：师生互相交流总结

在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

，x1x2= ⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能。

第七环节 布置作业

课本P51习题2.8第1、3题

学法指导

本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。