2.2.2 圆的参数方程教学设计(教案)

●教学目标

1．了解参数方程的概念；

2．理解圆的参数方程中θ的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；

3．会把圆的参数方程与普通方程进行互化. ●教学重点

圆的参数方程

●教学难点

圆的参数方程的理解和应用. ●教学方法

启发式

●教具准备

三角板、圆规

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

师：前两节，我们学习了圆的标准方程与一般方程及其应用，首先，我们进行简要的回顾. 生：（回答略）

师：这一节，我们重点研究圆的参数方程. Ⅱ.讲授新课

1．参数方程与普通方程：

一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即

xf(t). yg(t)并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程. 说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义. 2．圆的参数方程：

①圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：xrcos

yrsin推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图7—36）

设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，∠P0OP=θ，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得

xcosxrcosr

即

yyrsinsinr②圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程：

xarcos

（θ为参数）

ybrsin

推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量v=（a,b）平移得到. 即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使P1POO1v

因为OPOP1P1P，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）

所以xx1a，由于点P1（x1,y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数θ，使

yy1bx1rcosxarcos

所以. yrsinybrsin13．圆的参数方程化普通方程：

方程组xarcos

ybrsin①

②

由①得

x－a=rcosθ

③

由②得

y－b=rsinθ

④

③2+④2得：（x－a）2+(y－b)2=r2

即圆的普通方程. 4．例题讲解

例6

如图7—38，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

x4cos解：设点M的坐标是（x,y）.因为圆x+y=16的参数方程为

y4sin22所以可设点P的坐标为（4cosθ,4sinθ）.由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为

x62cos

y2sin所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆. Ⅲ.课堂练习

课本P81

练习1，2，3. ●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用. ●课后作业

习题7.7

9，10，11 ●板书设计

§7.7.3

……

1．参数方程

推导……

推导……

学生

与普通方程

……

……

2．圆的参数方程

②……

例6……

练习

①……

……

……