[本专题的学习总结报告]ppt课件教学实录

专题二十一

坐标系与参数方程

之参数方程

一、命题趋势: 侧重考查参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解决最值问题，极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用等.高考以选考题形式出现，只有解答题，考察形式如下：

1.参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；

2.利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系. 二、课前准备

主干知识：

1．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的x＝ft，x＝ft，函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都y＝gt，y＝gt

x＝ft，在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相y＝gt

对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．直线、圆、椭圆的参数方程

x＝x0＋tcos α，(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．

y＝y＋tsin α0(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为

x＝x0＋rcos θ，(θ为参数)．

y＝y＋rsin θ0

x＝acos φ，x2y2(3)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．

aby＝bsin φ

三、课堂进行时

（一）参数方程与普通方程的互化

x＝2＋22t，1.在平面直角坐标系中，曲线C：2y＝1＋t2

(t为参数)，求曲线C的普通方程．

解：由参数方程消去参数t，得x－y＝2－1，即x－y－1＝0.

x＝5cos φ，2.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的左焦点且与直线y＝3sin φ

x＝1＋t，(t为参数)垂直的直线的普通方程．

y＝－4＋2tx2y2解：椭圆的普通方程为＋＝1，左焦点为(－4,0)，

259直线的普通方程为2x－y－6＝0，

11∴所求直线的斜率为－，方程为y＝－(x＋4)，即x＋2y＋4＝0. 22

（二）直线与圆的参数方程的应用

x＝a－2t，x＝4cos θ，3.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θy＝－4ty＝4sin θ为参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，

|－2a|故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

5解得－25≤a≤25.

x＝－4＋cos t，x＝8cos θ，4.已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．

y＝3＋sin ty＝3sin θ(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

π(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：2x＝3＋2t，(t为参数)的距离的最小值．

y＝－2＋t

解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，

x2y2曲线C2：＋＝1，

649曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

π(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，

23－2＋4cos θ，2＋sin θ. 故M2曲线C3为直线x－2y－7＝0，

5M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，

54385从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值. 555

（三）参数方程与极坐标方程的综合问题

x＝acos t，5.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，y＝1＋asin ta>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为

ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

22ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，

ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1. a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．

所以a＝1.

练习题

1.【2017广西5月考前联考】在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为4cos，曲线C2的极坐标方程为cos22.

4（1）求曲线C1的参数方程为曲线C2的直角坐标方程；

（2）记曲线C1与曲线C2交于M，

N两点，求OMON.

【答案】（1）xy40（2）8

2.【2017四川泸州四诊】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程{x1cosysin（为参数）.

以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）设直线的极坐标方程是2sin33，射线3xy0x0与圆C的交3点为O,P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长.

【答案】（1）圆【解析】

解：(1)因为{的极坐标方程为2cos；（2）线段PQ的长为2.

Cx1cosysin22，消参得：

x1y1，把xcos,ysin代入得2cos12sin1，所以圆C的极坐标方程为2cos；

(2)射线3xy0x0的极坐标方程是3，设点P1,1，则有：

12cos11122sin2333{，解得，解得{，设点Q2,2，则有：

{11233323{，

23由于12，所以PQ

122，所以线段PQ的长为2.