一元二次方程的概念教学设计案例

第二章

一元二次方程

1．认识一元二次方程

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程；学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

三、教学过程分析

本节课设计了八个教学环节：第一环节：复习以前所学知识；第二环节：自主探究问题一；第三环节：自主探究问题二；第四环节：自主探究问题三；第五环节：总结归纳得出一元二次方程的相关概念；第六环节：小组讨论概念中的相关系数；第七环节：学以致用；第八环节：课堂小结；第九环节：布置作业。

第一环节：复习以前所学知识；

1.什么叫方程？我们学过哪些方程？

2.

什么叫一元一次方程？

3.

什么叫二元一次方程？

4.定义中的“元”指的是什么？“一次”指的又是什么?

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第二环节：自主探究问题一

活动内容： 问题一：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？

活动目的：

提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？目的在于培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。

教学要求与效果：

教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。

教学中教师可以一次完成下列任务：

（1）罗列学生提的问题；

（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；

（3）引导学生列出相应的方程并整理。

从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽，（2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。

第三环节：自主探究问题二

活动内容：

在学生的疑问处提出问题：你能找到关于10、11、12、13、14这五个数22222

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2

之间的等式吗？

得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

在难以找到的情况下，归结为方程去解决。

活动目的：

上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。

教学要求与效果：

找到等式102+112+122=132+142之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。

首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。

然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个较好的状态。

第四环节：自主探究问题二

活动内容：

提问学生问题中变化的量和没有变化的量，为学生的探究做准备。

活动目的：

上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：

不变的是梯子本身的长度，变化的是两直角边，再由勾股定理的得出方程。

教学要求与效果：

首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。

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然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看，学生的学习积极性很高，难点在于寻找变化的量和没有变化的量。

第五环节：总结归纳得出一元二次方程的相关概念；

活动内容：

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

活动目的：

关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。

活动的实际效果：学生基本能识别一元二次方程及各个部分。

第六环节：小组讨论概念中的相关系数；

活动内容：

小组分情况讨论一元二次方程概念中的常数a,b,c：分四种情况讨论，通过观察最终方程的样子，得到一元二次方程概念中只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数。

活动目的：

关注学生对概念中a ≠ 0这一必须条件的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念。

活动的实际效果：学生已经基本掌握了一元二次方程的概念。

第七环节：学以致用

活动内容：

1.

判断哪些是一元二次方程. 2.

找出方程中的项及其系数. 3.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

4.关于x 的方程(k－1)x |k|+1 －2x－7=0是一元次方程，求k 的值.

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活动目的：

及时巩固一元二次方程的有关概念。

活动的实际效果：

问题（1）判断哪些是一元二次方程，学生问题不大；问题（2）中学生找出相关系数也很简单，但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的；问题（3）对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难稍大,问题（4）中学生容易忽视二次项系数不能等于0这一条件。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数，请写出适合条件的方程；也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么。

第八环节：课堂小结

活动内容：

让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？

活动目的：

让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力。

活动的实际效果：

绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。

第九环节：布置作业

作业：P32习题2、1第1，2，3题

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