2.2.1 直线的参数方程教学设计实例

三

直线的参数方程

泰来县第三中学

张胜男

一、学习目标

1、掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义(重点)．

2、能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(重点、难点)．

二、教学过程

知识链接、梳理

1、直线的参数方程

x＝x0＋tcos α，π经过点M0(x0，y0)，倾斜角为αα≠的直线l的参数方程为

2y＝y0＋tsin α(t为参数)，

2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？

x＝x0＋tcos α，提示

过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(ty＝y0＋tsin α，为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有→→向线段M0M的长度，即|t|＝|M0M|.

→→①当t＞0时，M0M的方向向上；②当t＜0时，M0M的方向向下；③当t＝0时，点M与点M0重合. 学以致用

1x＝1－t，2例1．以t为参数的方程3y＝－2＋t2πA．过点(1，－2)且倾斜角为的直线

3πB．过点(－1,2)且倾斜角为的直线

32πC．过点(1，－2)且倾斜角为的直线

32πD．过点(－1,2)且倾斜角为的直线

3归纳升华

表示(

)

1.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义.2.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；

(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；

t1＋t2(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝2(由此可求|M1M2|及中点坐标). 学以致用

4如图所示，已知直线l过点P(2，0)，斜率为的直线l和抛物3线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：

(1)P，M间的距离|PM|；

(2)线段AB的长|AB|. 4【解析】

∵直线l过点P(2,0)，斜率为3，设直线l的倾斜角434为α，则tan α＝3，cos α＝5，sin α＝5，

3x＝2＋5t，∴直线l的参数方程的标准形式为4y＝5t

(t为参数)．

∵直线l和抛物线相交，

∴将直线l的参数方程(*)代入抛物线方程y2＝2x中，

(*)整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0. 设这个一元二次方程的两个根为t1，t2，

1525由根与系数的关系得t1＋t2＝8，t1t2＝－4. 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

t1＋t215＝. |PM|＝2165(2)|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝873. 深度探究

1．下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的定点坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式.

x＝2＋4t，(1)y＝－1＋3t；

12x＝＋22t，(t为参数)

(2)32y＝＋22t.

(t为参数) x＝2＋4t，【解析】：(1)不是直线参数方程的标准形式，参数方程即y＝－1＋3t4x＝2＋55t5t，

3y＝－1＋5为参数)．

.

令t′＝5t，得到标准形式的参数方程为3y＝－1＋5t′4x＝2＋5t′，

(t′12x＝＋22t，(2)32y＝＋22t

是直线参数方程的标准形式，

22π13其中，起点坐标为，，cos α＝2，sin α＝2，倾斜角α＝4. 22归纳升华

x＝x0＋at，把直线的参数方程(t为参数，a，b为常数且y＝y0＋bt标准形式：

ab1)化为22x＝x0＋y＝y0＋学以致用

a22t′，a＋bbt′a2＋b2(其中t′是参数，且t′＝a2＋b2·t)．

x＝1＋2t，例1、已知直线的参数方程为(t为参数)，

y＝2＋t则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？

x＝1＋2t，【解析】

将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式y＝2＋t为

x＝1＋2

t′，5)，

y＝2＋15

t′

(t′为参数代入圆方程x2＋y2＝9，

得1＋25

t′2＋122＋5

t′＝9，

整理，有5t′2＋8t′－45＝0. 由8245(45)0可知，设方程的两个根为t1,t2

由根与系数的关系，t′81＋t′2＝－5，

t′1·t′2＝－4. 根据参数t′的几何意义．

|t′1－t2′|＝t′1＋t′22－4t′1251t′2＝5. 故直线被圆截得的弦长为1255. 直击高考

(2018年全国二22) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程

x2cos4sin,(为参数）为y，直线l的参数方程x1tcos2ts参数yi,(tn为

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率。

x2y2【解析】

（1）曲线C的直角坐标方程为

4161。

当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1

为

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得(13cos2)t24(2cossin)t80

①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1，2）在C内，所以①有两个解，设为t1,t2，则t1t20。又由①得：

4(2cossin)t1t213cos2，故2cos于是直线sin0，

l的斜率ktan2

三、作业

3经过点A－3，－2，倾斜角为α的直线l与圆x2＋y2＝25相交于B、C两点. (1)求弦BC的长；

(2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；

(3)当|BC|＝8时，求直线BC的方程；

(4)当α变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程. 四、课堂小结

x＝x0＋tcos α，1．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程一般写为(ty＝y0＋tsin α是参数)．

其中参数t具有明确的意义，在解题中注意应用．

2．直线的参数方程的形式有多种，其中参数t不都具有明确的几何意义．