2.7 正方形第二课时教学实录

2.7

正方形

下湾一中

杨燕华

1．掌握正方形的概念、性质，并会运用．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．

3．掌握正方形的判定条件．

4．合理地利用正方形的判定进行有关的证明和计算．

阅读教材P72～74，完成预习内容．

(一)知识探究

1．你能利用手中的矩形白纸裁出一个正方形吗？

总结：矩形＋(一组邻边相等)＝正方形．

2．你能利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形．

总结：菱形＋(有一个内角为90°)＝正方形

思考：如果是平行四边形呢？

平行四边形＋(一组邻边相等)＋(有一个内角为90°)＝正方形．

3．正方形的性质

根据上述关系可知，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？

从边来说：四边相等；

从角来说：四个内角为90°；

从对角线来说：对角线互相垂直平分且相等．

(二)自学反馈

1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是(C) A．对角线相等且互相平分

B．对角线相等且互相垂直平分

C．对角线互相平分

D．四条边相等，四个角相等

2．正方形面积为36，则对角线的长为(B) A．6

B．62

C．9

D．92 3．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是∠BAD＝90°(或AD⊥AB，AC＝BD等)(只填一个条件即可)．

4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F，则四边形ABEF是正方形．

活动1

小组讨论

例1

如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°. ∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝90°，即∠1＋∠3＝90°. 又∵∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠2. ∴△AED≌△CFD(ASA)．

∴DE＝DF. 例2

如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形．

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 又∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，

∴D′A＝A′B＝B′C＝C′D. ∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′. ∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，∠1＝∠3. ∴四边形A′B′C′D′是菱形．

∵∠1＋∠2＝90°，∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠D′A′B′＝180°－(∠2＋∠3)＝90°. ∴四边形A′B′C′D′是正方形．

活动2

跟踪训练

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．

证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴四边形DECF是矩形．

∵DE＝DF，

∴矩形DECF是正方形．

2．如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.

(1)求证：BE＝CF；

(2)求BE的长．

解：(1)∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝90°. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°. ∵AE平分∠BAC，

∴BE＝EF. 又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°. ∴∠FEC＝∠FCE.∴EF＝FC. ∴BE＝CF. (2)设BE＝x，则EF＝CF＝x，

在Rt△CEF中，CE＝EF2＋CF2＝2x，

∵BC＝1，∴x＋2x＝1，

解得x＝2－1，即BE的长为2－1. 活动3

课堂小结

1．正方形的性质．

2．正方形的判定方法．