二 多边形的面积（通用）教学实录与评析

钉子板上的多边形

盐城市毓龙路实验学校 刘

佳

教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形”

教学目标：

1.使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2.使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学过程：

一、问题引入，揭示课题

导入语：师：同学们，知道我们今天要学习什么内容吗？

（出示钉子板）熟悉吗？（生：钉子板）

（出示一组多边形）那这些呢？（生：多边形）

这两者之间又有怎样的渊源呢？（生：我们可以在钉子板上用橡皮筋围多边形。）

1.提出问题。

出示钉子板上围成的下列多边形（也可以用点子图代替钉子板，在点子图上画出下列图形）。

师：你知道这里的每个格子的面积是多少平方厘米吗？（1平方厘米）

师：下面请你数数图形边上的钉子数，看看面积各是多少平方厘米。

让学生数出钉子和面积，全班交流，感受钉子数增加面积也增加。

师：通过刚才的汇报，你有怎样的感受？你发现钉子数增加时，面积怎样变化的？这里多边形的面积变化与什么有关？

2.引入课题。

师：通过数钉子和面积，我们感受到多边形面积的大小与围多边形用的钉子数有关。那钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎样的关系呢？今天这节课我们就来研究这个问题，看看到底有怎样的关系。（板书课题）

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知。

1.

出示下图，引导学生观察。

（1）师：请看大屏幕，请大家观察钉子板上的多边形，你能说出每个多边形的面积各是多少平方厘米吗？

（生思考并汇报。）（相机出示表格）

（适时提问：你是怎样得出它的面积的？）

（2）师：你能再数一数每个多边形边上的钉子各有多少枚吗？（相机完成表格）

2.观察数据，比较发现。

师：观察表格中的数据，在小组内说说你的发现？

（生交流汇报）

师相机板书（多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2）

师：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用字母S表示多边形的面积，n表示多边形边上的钉子数，那上面发现的这个规律可以怎样表示？

教师确认、说明字母表示的关系式，并板书：S=n÷2 3.观察比较，反思质疑。

师：是不是所有钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？俗话说：事实是检验真理的唯一标准。你能在点子图上画一画、数一数来验证一下我们的猜想是否正确吗？

（学生验证）

师：有发现一定要大胆的说出来哦！

有发现吗？多边形的面积和边上钉子数还有上面发现的规律吗？

（生回答）（大约喊2、3名学生展示）

师：看样子我们刚才的发现和猜想并不适用于所有钉子板上的多边形？让我们将目光再次转移到刚才的四个图形上？它们还有什么共同的地方吗？（生再次观察！）（相机提示）

生汇报。

师：看样子要使刚才发现的规律成立的话，必须要添加一个前提条件了。

你知道是什么吗？

生：（当多边形内只有一个钉子时，多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2）

（师相机板书，a=1）

师：通过刚才的活动我们发现多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。

（二）继续研究，拓展认识。

1.提出问题，引发思考。

师：刚才我们只是研究了多边形内只有1枚钉子的情况。如果多边形内有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？想继续探究吗？请看活动要求。（出示活动要求）

2.小组合作，探究规律。

师：听明白要求了吗？下面就以小组为单位开始活动吧。

（学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。）

3.交流引导，发现规律。

（组长汇报数据，师完善表格）

师：通过数据比较，你们小组的发现是什么？ （学生汇报）

师：我们刚才发现的规律，用字母又该如何表示呢？（板书：a=2 S=n÷2+1）

师：你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？

（三）引导猜想，概括规律。

1.引发学生猜想。

师：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。

交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2

？）怎样想的？

2.画图举例，验证猜想。

师：我们的猜想是否正确呢？让我们拿出焦点访谈的精神——用事实说话。在点子图上画出图形，验证你的猜想。完成表格二

（学生活动）

师：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）

确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2 。（擦除上面板书中的“？”）

拓展延伸，揭示规律。

师：现在我们又有什么发现？

引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1 a=3 S=n÷2+2 师：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5、a=0呢？？

那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。

师：现在你能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？

（课件出示）如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S =n÷2+a-1）

4.适当介绍，拓展视野。

师：现在刘老师由衷的感叹：二班二班，真不简单。同学们，今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理。它可是“最重要的100个数学定理之一”（出示课件）

师：我国著名的数学家闵嗣鹤先生也有一本与今天的课堂内容相关的著作《格点和面积》，有兴趣的同学可以课后去查阅。

三、回顾过程，交流体会。

师：同学们，今天我们一起经历了观察、比较、猜想、验证等活动，从而发现了《钉子板上的多边形》规律。刘老师希望你们能将这种学习方法应用到今后的学习中，解决更多更复杂的问题，好吗？