2. 匀速圆周运动的向心力和向心加速度教案教学设计

学案2

匀速圆周运动的向心力和向心加速度

[学习目标定位]

1.理解向心力的概念及其表达式的含义.2.知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算.3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题．

一、向心力

1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．

v22．大小：F＝mωr＝m. r23．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．

二、向心加速度

1．定义：做匀速圆周运动的物体的加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度．

v22．大小：a＝＝ω2r. r3．方向：沿半径指向圆心，方向始终与运动方向垂直.

一、什么是向心力

[问题设计]

分析图1甲、乙中小球和地球的受力情况，合力的方向与线速度方向有什么关系？合外力的作用效果是什么？

图1 答案

甲图中小球受绳的拉力、水平地面的支持力和重力的作用，合力等于绳对小球的拉力；乙图中地球受太阳的引力作用．两图中合力的方向总沿半径指向圆心且与线速度的方向垂直，合力的作用效果是改变线速度的方向．

[要点提炼]

1．向心力的方向：总是沿着半径指向圆心，始终与线速度的方向垂直，方向时刻改变，所以向心力是变力．

2．向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．

3．向心力是效果力：向心力是根据力的作用效果命名的，不是性质力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，或某个力的分力．注意在分析物体受力时，不能说物体还受一个向心力的作用，向心力可以是某一种性质力，也可以是几个性质力的合力或某一性质力的分力．

二、向心力的大小

[问题设计]

如图2所示，用手拉细绳使小球在光滑水平地面上做匀速圆周运动，在半径不变的的条件下，减小旋转的角速度感觉手拉绳的力怎样变化？在角速度不变的条件下增大旋转半径，手拉绳的力怎样变化？在旋转半径、角速度相同的情况下，换用不同质量的球，手拉绳的力有什么不同？

图2 答案

变小；变大；手对质量大的球的拉力比对质量小的球的拉力大．

[要点提炼]

v22π1．匀速圆周运动的向心力公式为F＝m＝mω2r＝mr()2. rT2．物体做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，提供物体做圆周运动的向心力．

三、向心加速度

1．做匀速圆周运动的物体，加速度的方向指向圆心，这个加速度称为向心加速度．

v24π222．向心加速度的大小的表达式：a＝＝rω＝2r＝ωv. rT3．向心加速度的作用：向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．

4．匀速圆周运动的性质：向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动．

[延伸思考]

v2甲同学认为由公式a＝知向心加速度a与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式a＝r

ω2r知向心加速度a与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．

答案

他们两人的观点都不正确．当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比．(a与r的关系图像如图所示)

一、对向心力的理解

例1

关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是(

) A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力

B．因向心力指向圆心，且与线速度的方向垂直，所以它不能改变线速度的大小

C．它是物体所受的合力

D．向心力和向心加速度的方向都是不变的

解析

做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．

答案

BC

图3 例2

如图3所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆盘静止．关于小强的受力，下列说法正确的是(

) A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用

B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零

C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力

D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心

解析

由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心．D错．

答案

C 二、对向心加速度的理解及计算

图4 例3

如图4所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大1轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S到转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上P3点的向心加速度是12 m/s2

时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少？

解析

同一轮子上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP，由向心加速度公式a＝ω2r可得：aSrSrS1＝，则aS＝aP·＝12×

m/s2＝4 m/s2. aPrPrP3又因为皮带和两轮之间无相对滑动，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ. v2aPrQ由向心加速度公式a＝可得：＝. raQrPrP2则aQ＝aP·＝12×

m/s2＝24 m/s2

rQ1答案

4 m/s2

24 m/s2

三、圆周运动的动力学问题

图5 例4

如图5所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为(

) A.μgr

B.μg

C.g

D.rg

μr解析

对物块a受力分析知f＝mg，F向＝N＝mω2r，又由于f

≤μN，所以解这三个方程得角速度ω至少为答案

D g，D选项正确．

μr

1．(对向心力的理解)下列关于向心力的说法中正确的是(

) A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动

B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出

C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力

D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢

答案

CD 解析

向心力是一种效果力，实际上是由某种或某几种性质力提供，受力分析时不分析向心力，A、B错，C对．向心力只改变物体线速度的方向，不改变线速度的大小，D对．

2．(向心力来源分析)在马戏团表演的场地里，表演者骑在大象背上，大象绕着场地走动，若大象是沿着半径为R的圆周匀速走动，则关于大象和表演者的受力情况，下面说法正确的是(

)

A．表演者骑在大象背上不动，他受到的力是平衡力

B．表演者的向心力是地面摩擦力通过大象作用于他的

C．大象和表演者所受向心力大小与两者的质量成正比

D．大象与表演者一起做匀速圆周运动的向心力是地面摩擦力提供的

答案

CD

图6 3．(对向心加速度的理解及计算)如图6所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(

) A．A物体运动的线速度大小不变

B．A物体运动的角速度大小不变

C．B物体运动的角速度大小不变

D．B物体运动的角速度与半径成正比

答案

AC v2解析

因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝可知，A物体运动的线r速度大小不变，故A对，B错；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C对，D错．

图7 4．(圆周运动中的动力学问题)如图7所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．

答案

14 N 解析

小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力T提供(如图所示)，即mv2T－mg＝

r

mv21×22所以T＝mg＋＝(1×10＋) N＝14 N r1小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.

题组一

对向心力的理解及其来源分析

1．下列关于向心力的说法中正确的是(

) A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力

B．向心力会改变做圆周运动物体的速度大小

C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力

D．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的

答案

C 解析

当物体所受外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变速度的大小、只改变速度的方向，当合力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变、方向时刻改变，故向心力是变化的．

图1 2．如图1所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有(

) A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心

B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心

C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力

D．圆盘对B的摩擦力和向心力

答案

B 解析

以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圆心．以A为研究对象，受重力、B的支持力及B对A的摩擦力，重力与支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，即方向指向圆心，由牛顿第三定律，A对B的摩擦力背离圆心，所以物体B在水平方向受圆盘指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力，故B正确．

3．在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确表示小滑块受到

的牵引力F及摩擦力f的图是(

)

答案

A 解析

滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向，B、D错误；小滑块做匀速圆周运动，其合力提供向心力，故A正确，C错误．

图2 4．如图2所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是(

) A．绳的拉力

B．重力和绳的拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力

D．绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力

答案

CD 解析

小球仅受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．

图3 5．一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图3所示，下列说法中正确的是(

) A．物块所受合外力为零

B．物块所受合外力越来越大

C．物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变

D．物块所受摩擦力大小变化

答案

CD 解析

由于物块做匀速圆周运动，故合外力只改变物体的速度方向，故合外力时刻指向圆心，且大小保持不变，A、B错误，C正确；对物块受力分析知物块所受摩擦力总是与重力沿切线方向的分力G1相等，因随物块下滑G1逐渐减小，故物块所受摩擦力也逐

渐减小，D正确．

题组二

对向心力加速度的理解及其计算

6．关于向心加速度，下列说法中正确的是(

) A．向心加速度越大，物体速率变化得越快

B．向心加速度的大小与轨道半径成反比

C．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

答案

C v2解析

向心加速度只改变速度方向，故A错误．向心加速度可用a＝或a＝ω2r表示，r不知线速度和角速度的变化情况，无法确定向心加速度的大小与轨道半径的关系，故B错误．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C正确，D错误．

图4 7．如图4所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(

) A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR

B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同

C．线速度vP＞vQ＞vR

D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同

答案

C 解析

圆环各处的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A错误；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正确．由于向心加速度总是指向圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于半径，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误．

图5

8．如图5所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下列说法中正确的是(

) A．A、B两轮转动的方向相同

B．A与B转动方向相反

C．A、B转动的角速度之比为1∶3 D．A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1 答案

BC 解析

A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错，B对．A、B两轮边缘vv2ω1r21a1r21的线速度大小相等，由ω＝知，＝＝，C对．根据a＝得，＝＝，D错．

rω2r13ra2r13

图6 9．如图6所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(

) A．加速度为零

B．加速度恒定

C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心

D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心

答案

D 解析

由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．

图7 10．一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下L方处钉有一颗光滑钉子．如图7所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬2线碰到钉子后的瞬间，则(

) A．小球的角速度突然增大

B．小球的线速度突然减小到零

C．小球的向心加速度突然增大为原来的两倍

D．细线对小球的拉力突然增大为原来的两倍

答案

AC 解析

由于小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由vv2＝ωr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由a＝知，小球的向心加速度变rv2为原来的两倍，C正确；由F－mg＝m知，悬线对小球的拉力突然增大，但不是原来r的两倍，所以D错误．

题组三

圆周运动中的动力学问题

11．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是(

) A．l、ω不变，m越大线越易被拉断

B．m、ω不变，l越小线越易被拉断

C．m、l不变，ω越大线越易被拉断

D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变

答案

AC

图8 12．如图8所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，有m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为(

) A．1∶1

B．1∶2

C．2∶1

D．1∶2 答案

D 解析

设两球受绳子的拉力分别为F1、F2. 2对m1：F1＝m1ω1r1

2对m2：F2＝m2ω2r2

因为F1＝F2，ω1＝ω2

r1m21解得＝＝. r2m12

图9

13．如图9所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg 的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可能是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)(

) A．0.04 m

B．0.08 m C．0.16 m

D．0.32 m 答案

BCD 解析

当M有远离轴心运动的趋势时，有：mg＋fmax＝Mω2rmax

当M有靠近轴心运动的趋势时，有：

mg－fmax＝Mω2rmin

解得：rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m 即0.08 m≤r≤0.32 m.

图10 14．如图10所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；

(2)当角速度为

答案

(1) 3μg时，绳子对物体拉力的大小．

2rμg1

(2)μmg

r2解析

(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω20r，得ω0＝

(2)当ω＝

μg

r3μg时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，2rF＋μmg＝mω2r

3μg1即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg. 2r2