5.4 二次函数与一元二次方程优质课教学设计

5.4二次函数与一元二次方程（1）

【学习目标】

基本目标：1.会用对立统一的辩证观点，把一元二次方程的问题转化为二次函数的相关问题. 2.根据二次函数图像与x的位置关系判断相应的一元二次方程的根的有关情况. 提升目标：理解函数思想与方程思想的转化

【重点难点】

重点：体会方程与函数之间的联系； 难点：理解二次函数与x 轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系

【预习导航】

1.一次函数ykxb与关于x的一次方程kxb0之间具有什么关系？

2.一次函数ykxb与x轴交点的横坐标与一次方程kxb0的解之间具有什么关系？

3. 二次函数yx22x3与一元二次方程x2x30之间具有什么关系？

4. 二次函数yx22x3的图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程x2x30

的解之间具有什么关系？

设计意图：让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生形成解决一类问题的通用方法的思维品质．）

【新知导学】

活动一：

1、观察二次函数的图象，写出它们与x轴、y轴的交点坐标：

函数

22yx22x3

yy=x2-2x-376yx26x9

y11yx22x3

yy=x2-2x+311109

图

y=x2-6x+910594883776265154-2

象

交

点

O-1-224x681012433221-31-4-2O-5246x81012O-124x681012与x轴交点坐标是 与x轴交点坐标是 与x轴 与y轴交点坐标是 与y轴交点坐标是 与y轴交点坐标是 2、归纳：

⑴一元二次方程axbxc0的实数根就是对应的二次函数yax2bxc与

2x轴交点的 . 设计意图：从“函数值为0”着手，沟通二次函数与相应的一元二次方程的关系；通过函数图像揭示相应的一元二次方程的解的几何意义．

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为x1、x2）

二次函数yax2bxc

( , )O与

一元二次方程axbxc0

2y( , )x与x轴有 个交点



b24ac 0，方程有 的

实数根是 . yO( , )x与x轴有 个交点

这个交点是 点



b24ac 0，方程有 的

实数根是 .

yOx与x轴有 个交点



b4ac 0，方程 实数根. 2

⑶二次函数yax2bxc与y轴交点坐标是 .

设计意图：学生对二次函数与一元二次方程的联系从特殊到一般性结论的讨论，逐步提高学生从旧知识中“类比猜想”“观察发现”“归纳概括”最后得出“结论”．结论由学生自己得出并完善,提高学生分析和解决问题的能力

练习、判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ⑴

yxx； ⑵yx6x9 ⑶y3x6x11

【典型例题】

例1、已知二次函数yx4x3.求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.

例2．已知二次函数y＝x－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．

22222

例3、已知二次函数y=x－2kx＋k＋k－2．

（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

22进一步提升学生对于实际问题中的二次函数与一元二次方程的关系的理解应用，用于解决实际问题．

【课堂检测】

1、抛物线y2xx2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 . 2、抛物线yax2bxc的图象都在x轴的下方，则函数值y的取值范围是 . 3、抛物线yaxbxc与x轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 . 24、若抛物线yx2bx4与x轴只有1个交点，求b的值.

5、求抛物线yx2x8与x轴的交点之间的距离. 2

【课后巩固】

一、基础检测

1、二次函数y＝x＋2x，y＝x－2x＋1，y＝x－2x＋2的图象与x轴分别有 个交点， 个交点， 交点．

2、抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为

22222

．

3、抛物线yaxbxc的图象都在x轴的上方，则函数值y的取值范围是 . 4、抛物线yaxbxc的顶点是（3，0），则它与x轴有 个交点. 5.已知二次函数yx3x10. （1）求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.（2）抛物线与x轴的交点之间的距离.

2

6. 二次函数yax23x1的图象

（1）若它与x轴有且只有一个公共点，求a的值及公共点坐标．

（2）若它与x轴有两个公共点，求a的取值范围.

二、拓展延伸

7、已知二次函数y=x＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

8.利用下列平面直角坐标系求

（1）抛物线yx4x3与坐标轴的交点围成的△ABC的周长和面积.

(2)抛物线上是否存在点D，令△ABD与△ABC面积相等，如果有，请写出D点坐标. 22

yy=x2-4x+3C0ABx