综合教学实录及点评

规律探究问题（一）

数式规律探究

盱眙县第二中学：周帮宇

探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有：（1）数列规律型；（2）数与式规律型（图形变化规律型）；（3）点阵图形变化规律型；（4）点坐标规律型；（5）循环排列规律型等．

基本解题思路为：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性，即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”．

淮安市近六年中考对此问题的考查：2013年中考试题第18题考查了数式变化规律；2014年中考试题第18题考查了图形变化规律；2015年中考试题第18题考查了数字变化规律；2017年中考试题第18题考查了数字变化规律；2018年中考试题第17题考查了图形变化规律．

考点一：

数与式变化规律

这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是抓“变”和“不变”，找出“变”和“不变”部分对应的关系，进而得到一般性的结论．

2323例1. ．(2013·淮安)观察一列单项式：

x

,

3

x

,

5

x

,

7

x

,9

x

,11

x

,

则第2013个单项式是

．

1.将一列整式按某种规律排成

x，－2x2，4x3，－8x4，16x5，…，则第2019个整式为________．

2.观察下面两行数：

2，4，8，16，32，64，…①

5，7，11，19，35，67，…②

根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是________．

3．(2017·郴州)

则a8＝___

_．an=

.

4.(2017凉山州)古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是________．

5..(2017扬州)在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是

.

解题方法指导：

需要熟记的数字规律有：

1

①自然数列规律：0,1,2,3,…,n（n≥0）;

②正整数列规律：1,2,3,…,n-1,n（n≥1）;

③奇数列规律：1,3,5,7,9,…,2n-1（n≥1）;

④偶数列规律：2,4,6,8,…,2n（n≥1）;

1⑤正整数和：1+2+…+n=

n(n＋1) （n≥1）;

2⑥正整数平方：1,4,9,16,…,n2（n≥1）;

⑦正整数平方加1：2,5,10,17,…,n2+1（n≥1）;

⑧连乘数列：2、6、12、20、…、n(n＋1)（n≥1）.

解题方法指导：

1.数字规律探索题：

（1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列，还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，如果数字符号的正、负是交替出现，则可用（-1）n或（-1）n+1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来得到结果；

（2）当所给的一组数是分数和整数结合时，先把这组数的所有整数写成分数，然后分别归纳出分子和分母的数字规律（其他方法同（1）），从而得出该组数字的规律；

（二）数阵(数表)规律

例2:

正整数按如图所示的规律排列，请写出第20行第21列的数字．

请写出第20行第21列的数字

．

第6题

6.（2018•广西桂林）将从

1 开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第

m 行，第

n 列的自然数

10 记为（3，2），自然数

15 记为（4，2）......按此规律，自然数

2018记为

. 7.(2015.淮安)将连续正整数按如下规律排列：

第1列

第2列

第3列

第4列

第5列

第1行

1

2

3

4

第2行

8

7

6

5

第3行

9

10

11

12

第4行

16

15

14

13

第5行

17

18

19

20

………

若正整数565位于第

行a，第

b列，则

a+b＝

。

8.下面是一个三角形数阵：根据该数阵的规律，第8排第2个数是

．

2

9.(2014湘潭)如图，按此规律，第6行最后一个数字是

，第

行最后一个数是2014．

10.（2017淮安）将从1开始的连续自然数按一下规律排列：

则2017在第

行．

第1行

第2行

第3行

第4行

9

2 8 1 3 7

4 6

5

10 11 12 13 14 15 16 第5行

25 24 23 22 21 20 19 18 17 解题方法指导：

当所给的一组数阵（列）有特殊的排列方式，如“S型”、“杨辉三角型”排列，一般是寻找每行数字中的首个或末尾数字与行序数的变化关系，从而归纳出该组数字的规律. （三）等式规律

例3：(2014安徽)观察下列关于自然数的等式：

32－4×12=5 ①

52－4×22=9 ②

72－4×32=13 ③

…

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第四个等式：92－4×

2=

；

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．

11.（2018•临安•）已知：

2+222323424525b2b=2×，3+=3×，4+=4×，5+=5×，…，若

10+=10×符338815152424aa1(123012);

3123(234123);

3134(345234);

3合前面式子的规律，则

a+b= ．

12. (2010淮安)观察下列各式：

12

．．．．．．

计算：3(12233499100)(

) A．979899

B．9899100

C．99100101

D．100101102

3

13.(2013滨州)观察下列各式的计算过程：

5×5=0×1×100＋25，

15×15=1×2×100＋25，

25×25=2×3×100＋25，

35×35=3×4×100＋25，…

请猜测，

第n个算式(n为正整数)应表示为

．

方法指导

3.等式规律探索题：

（1）先观察给出的等式或式子（计算出已给式子的结果）；

（2）分析对比所得的结果，从结果与序号数或结果与所给数式中数字的构成个数两方面进行对比，寻找不变的量及变化的量之间的关系，从而得到结果与各自等式或式子之间满足的关系式，求第n个数式时直接套用关系式即可.

4