2.2.2 圆的参数方程优质课教案整理

第十章

统计与统计案例

第一节

统

计

一、知识梳理

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．

2．系统抽样

在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．

3．分层抽样

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

4．三种抽样方法的比较

类别

简单随机抽样

均为不放回抽样，且系统抽样

抽样过程中每个个体被抽取的机会相分层抽样

等

共同点

各自特点

从总体中逐个抽取

将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取

将总体分成几层，分层按比例进行抽取

相互联系

是后两种方法的基础

在起始部分抽样时采用简单随机抽样

各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

适用范围

总体中的个数较少

元素个数很多且均衡的总体抽样

总体由差异明显的几部分组成

二、考点训练

考点一 简单随机抽样

1．抽签法的步骤

第一步，将总体中的N个个体编号；

第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；

第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀；

第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；

第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出．

2．随机数法的步骤

第一步，将个体编号；

第二步，在随机数表中任选一个数开始；

第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．

[例1]

(1)以下抽样方法是简单随机抽样的是(

) A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

(2)总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(

) 7816

3204

6572

9234

0802

4935

6314

8200

0702

3623

D．01 4369

4869

9728

6938

0198 7481 A.08

B．07

C．02

[解析]

(1)选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．

(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01. [答案]

(1)D

(2)D 考点二 系统抽样

系统抽样的步骤

(1)先将总体的N个个体编号；

NN(2)确定分段间隔k(k∈N*)，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；

nn(3)在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号l(l≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

[例2]

(1)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(

) A．11

B．12

C．13

D．14

(2)中央电视台为了解观众对《中国好歌曲》的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．

[解析]

(1)由系统抽样定义可知，所分组距为840＝20，每组抽取一人，因为包含整数42个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12. (2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含[答案]

(1)B

(2)2

10 500＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10. 50[易错提醒] 用系统抽样法抽取样本，当Nn不为整数时，取k＝Nn，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．

考点三 分层抽样

进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：

样本容量n该层抽取的个体数(1)＝；

总体的个数N该层的个体数(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

[例3]

(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(

) 类别

老年教师

中年教师

青年教师

合计

A．90

B．100

C．180

D．300 (2)(2016·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝(

) A．54

B．90

C．45

D．126 (3)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).

篮球组

书画组

乐器组

人数

900 1 800 1 600 4 300

高一

高二

45

15

30

10

a

20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．

x320[解析]

(1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，9001 600故x＝180. 3(2)依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90. 3＋5＋71230(3)由题意知＝，解得a＝30. 45＋1545＋15＋30＋10＋a＋20[答案]

(1)C

(2)B

(3)30 [方法技巧小结] 分层抽样的解题策略

(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．

(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．

(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．

(4)抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量.

三、针对训练

1.[考点一]某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法

①1,2,3，…，100；

②001,002，…，100；

③00,01,02，…，99；

④01,02,03，…，100. 其中正确的序号是(

) A．②③④

B．③④

C．②③

D．①②

解析：选C

根据随机数法编号可知，①④编号位数不统一．

2.[考点三]为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C学校中应抽取的人数为(

) A．10

B．12

C．18

D．24 90解析：选A

根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为×60＝180＋270＋9010.

3.[考点二]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(

) A．10

B．11

C．12

D．16 解析：选D

从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D. 4.[考点三]某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人．

解析：设A、B、C三所学校高三文科学生人数分别为x，y，z，由题知x，y，z成等差数列，所以x＋z＝2y，又x＋y＋z＝1 500，所以y＝500，用分层抽样方法抽取B校学生120人数为×500＝40. 1 500答案：40 5.[考点二]为了了解本班学生对网络游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．

解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取时的分段间隔是6.即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57. 答案：57