一元二次方程的根的判别式精品学案

一元二次方程根的判别式

一、教学内容分析

“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。

教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用

教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。

二、学情分析

学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b4ac作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

22三、教学目标

依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：

知识和技能：

1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；

2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；

3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

过程和方法：

1、培养学生的探索、创新精神；

2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

情感态度价值观：

1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；

2、加深师生间的交流，增进师生的情感；

四、教学策略：

本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时

间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：

序号

1 2 3 4 5 6 7 8

教师

设置悬念

引发兴趣

设计练习，创设情境

启发引导，发现结论

引导学生，理论验证

揭示定理内涵

应用定理，解决问题

归纳小结

布置作业

学生

争先恐后，欲解疑团

动手解题，亲身感知

观察分析、得出结论

阅读理解，自学教材

加深认识理解

巩固应用，形成技能

整体把握

巩固提高

五、教学流程：

<一>、设置悬念，引发兴趣：

【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在章老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。

【学生】会争先恐后地编题考老师。

<二>设置练习，创设情境。

【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。

用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）

【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。

1x23x20 29x26x10 3x22x30

(注：找三名学生板演，其余学生在位上做) 【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。

【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。

<三>启发引导，发现结论：

【说明】：这样设计（1）是【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系2为了让学生明白：b4ac

数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它的值的符号在解一元二次2的值——b4ac，为什么要这样做呢？

方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判2【学生】会初步说出

b4ac的作用是：它能决定方程是否可解。

别式概念。（2）是为了培养【教师】（1）由此可见：在解

学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生一元二次方程ax2bxc0a0时，代数式b24ac起着从感性认识上升到理性认

重要的作用，显然我们可以根据b4ac的值的符号来判断2一元二次方程ax2bxc0a02识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

的根的情况，因此，我们把

b4ac

叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=b4ac。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。

22

注意：△b24ac

而应为：△＝b24ac

（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情

况有哪几种，谁能总结出来？

【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。

<四>引导学生，理论验证：

【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？

请同学们认真阅读课本P39的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。

【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。

<五>揭示定理：

【教师】（1）由此我们就得出了关于

【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。

【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。

重中之重

一元二次方程ax2bxc0a0的根的判别式定理：在一元二次方程ax2bxc0a0中，△＝b24ac

若△＞0 则方程有两个不相等的实数根

若△

=0 则方程有两个相等的实数根

若△＜0则方程没有实数根

（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程axbxc0a0中，△＝b4ac

22

若方程有两个不相等的实数根，则△＞0

若方程有两个相等的实数根，

则△=0

若方程没有实数根，

则△＜0

（3）定理与逆定理的用途不同

定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。

逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。

（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。

<六>应用定理，解决问题：

【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。

例1：不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）

学以致

用

12x23x40 216y2924y

22235x17x0 4x22kxk0

分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值

的符号，

（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使

学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法，

也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。

例2：求证关于x的方程m21x22mxm240

没有实数根

分析：我先提出两个问题：

（1）是谁决定了方程有无实数根？

（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？

例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它

的证明实际与例1的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错

用逆定理来证。

注意；例1，例2之后我设计了一个小结：（1）关于运用根的【说明】以上例题的设计，判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般主要是为了给学生创造一步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。

个知识运用迁移及巩固的小结（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二机会，同时也为了吸引和调次方程根的情况的一般步骤是：

动全班同学参与到积极动①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；

脑，各抒己见的活跃气氛中②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。

来，并培养学生分析问题，③根据根的判别式定理，写出结论。

解决问题的能力。

（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变

22

a2 a2 a22 a22 a22 a22形成

等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。

学生练习；

不解方程，判别下列方程根的情况

116x28x-3 29x26x10

2232x9x80 4x7x1805

2m21x22mx10

注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。

思考题：已知关于x的方程x22a1xa24a50

当a取何正整数时，方程有实数根？

分析：要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别

式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解这个不等式，从而求出a的

取值范围，进而得出a的正整数解。

注意：本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆

定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，

最后让学生自己完成。

<七>归纳小结

【教师】（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。

（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

3一元二次方程ax2bxc0a0△＝b24ac

判别式的情况

△＞0 根

的

情

况

bb24acx1、2＝2a

定

理

与

逆

定

理

△＞0方程有两个不相等的实数根

【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。

△＝0 x1、2＝b0b＝

2a2a△＝0方程有两个相等的实数根△＜0 △＜0方程没有实数根

b24ac无意义、x1、x2不存在

【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。

<八>布置作业：

1、阅读课本P39的内容；

2、不解方程判定下列方程根的情况：

1x210x260 33x26x50 44x2x5x2 -113x

0 64x26x-0 7x(x4)58x4163

04

4、已知方程x22xn10没有实数根求证：x2bnx12n一定有两个不相等的实数根

注

（第3、4题供学有余力的学生做）