课外读物教案公开课一等奖

第二节

圆周运动

双基铺路

一、圆周运动及分类

1.定义

我们把运动轨迹为圆周的运动称为圆周运动. 2.分类

(1)匀速圆周运动:物体在圆周上运动，在任意相等的时间内通过的圆弧长度相等，其速度的大小不变. (2)非匀速圆周运动:物体在圆周上运动，在相等的时间内通过的圆弧长度不相等，其速度的大小时刻发生变化. 二、匀速圆周运动

1.描述匀速圆周运动的物理量

(1)线速度

①物理意义:描述质点沿圆弧运动快慢的物理量. ②大小:vs(s是t时间内通过的弧长). t③方向:沿圆周的切线方向，线速度方向时刻变化. (2)角速度

①物理意义:描述质点绕圆心转动快慢的物理量. ②大小:t(φ是t时间内物体与圆心连线转过的弧度). (3)周期T、频率f和转速n

①周期:做圆周运动的物体运动一周所用的时间，叫周期. ②频率:做圆周运动的物体在单位时间内完成的完整圆周运动的个数，称为频率. ③转速:单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫转速. (4)向心加速度

①定义:沿着半径指向圆心的加速度. ②物理意义:描述线速度方向改变快慢的物理量. v22③计算式:a2rv()2r(2f)2r(2n)2r.

rT2.关于向心力

(1)定义:做圆周运动物体所受方向始终和速度方向垂直并指向圆心的力. (2)说明:向心力是按力的效果命名的，它可以由某一个力提供；可以由某一个力的分力提供；也可以是几个力的合力提供. ［思考1］做匀速圆周运动的物体所受合外力与其所需要的向心力相等吗？

(提示:相等.做匀速圆周运动的物体所受合外力就是物体做圆周运动需要的向心力.) ［思考2］做非匀速圆周运动的物体所受合外力与其所需要的向心力相等吗？

(提示:不相等.做非匀速圆周运动的物体所受合外力在指向圆心方向的分力提供物体做圆周运动需要的向心力；在速度方向的分力产生切向加速度，改变物体线速度大小.) ［思考3］向心力对物体做功吗？

(提示:不做功.由于向心力方向始终和物体的线速度方向垂直，所以向心力对物体不做功.) 三、向心运动和离心运动

1.向心运动

如果物体所受沿半径方向的合外力大于其做圆周运动所需的向心力，物体运动半径将减小，则物体做向心运动. 2.离心运动

如果物体所受沿半径方向的合外力小于其做圆周运动所需的向心力，物体运动半径将增大，则物体做离心运动.

疑难攻坚

疑难点一

对非匀速圆周运动的理解和分析

一般地说，若圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向.分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢. 特别提示

对某些非匀速圆周运动的特殊位置，例如用线或杆束缚的小球在竖直平面内做非匀速圆周运动，当其通过最高点或最低点时，由于其合外力指向圆心，所以这时可以按照匀速圆周运动处理. 疑难点二

涉及竖直面内圆周运动的临界问题

物体在竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态. 1.线模型

如图4-2-1所示，用绳束缚的小球在竖直面内的圆周运动，在小球通过最高点时存在临界状态:小球到达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力刚好提供做圆v周运动的向心力，即mgm0.式中的v0是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度r2v0rg.相关讨论如下:

线模型

图4-2-1 ①当小球通过最高点的速度v=v0时，小球的重力刚好提供做圆周运动的向心力；

②当小球通过最高点的速度v＜v0时，小球不能在竖直面内做完整的圆周运动；

③当小球通过最高点的速度v＞v0时，小球能在竖直面内做完整的圆周运动，且绳子有拉力. 说明:本模型的分析方法和结论适用于“水流星”“线球模型”“过山车”以及“竖直面上的环形光滑内侧轨道”等情景，其共同点:由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大.物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的大小就不能确定了，要分情况进行讨论. 2.杆模型

如图4-2-2所示，用杆或环形管内光滑轨道束缚的小球在竖直面内的圆周运动，在小球

通过最高点时存在以下几种情况(其中v0rg):

图4-2-

①当小球通过最高点的速度v=v0时，小球的重力刚好提供做圆周运动的向心力；

②当小球通过最高点的速度v＜v0时，小球通过最高点时，杆对小球有向上的支持力；

③当小球通过最高点的速度v＞v0时，小球通过最高点时，杆对小球有向下的拉力；

说明:本模型的分析方法和结论适用于“过拱形桥”“杆球模型”“环形管内光滑轨道”等情景. 【互动探究】

如图4-2-3所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，已知小球能通过最高点且刚好不脱离轨道，则当小球通过与圆心等高的A点时对轨道内侧的压力大小为(

)

A.mg

B.3mg

C.4mg 图4-2-3

D.5mg

v2解析:设圆形轨道的半径为r，根据题意，对小球在最高点有mgm(①式)；小球由最高r点到A点的过程由机械能守恒有mgr1212mvmvA(②式)；在A点轨道对小球的弹力F222v提供小球做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有FmA(③式)；由牛顿第三定律可知，r小球通过A点时对轨道内侧的压力大小N与A点轨道对小球的弹力F大小相等，则N=F(④式)；由①②③④各式联立解得N=3mg.故B选项正确. 答案:B 经典剖析

题型一

涉及圆周运动传动方式分析

【例1】(2008宁夏高考，30)如图4-2-4所示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑.下列说法正确的是(

)

A.从动轮做顺时针转动

C.从动轮的转速为

图4-2-4 B.从动轮做逆时针转动

D.从动轮的转速为r1n

r2r2n

r1

思维快车:根据皮带不打滑的题设条件很容易确定二者转动方向的关系，同时可确定皮带边缘的线速度关系. 解析:由于皮带不打滑，顺着皮带的绕行方向易知主动轮顺时针转动时从动轮逆时针转动，选项B正确；又由两轴边缘线速度相等，可知两轴转速与其半径成反比，易得选项C正确. 答案:BC 表格归纳:本题重点考查考生对传动方式的理解和应用.为系统备考我们可以对涉及圆周运动的传动方式作一下总结，具体来讲，主要存在以下三种传动类型: 传动类型

图示

说明

如图所示，A点和B点虽在同轴的一个“圆盘”上，但是两点到轴(圆心)的距离不同，

当“圆盘”转动时，A点和B点沿着不同半径的圆周运动. 它们的半径分别为r和R，且r＜R

如图所示，

A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，

两个轮子用皮带连接起来，

并且皮带不打滑

结论

①运动特点:转动方向相同，

即都逆时针转动，

或都顺时针转动.②定量关系:A点和B点转动的周期相同、角速度相同、进而可知二者线速度与其半径成正比

(1)共轴传动

(2)皮带(链条)传动

①运动特点:两轮的转动方向与皮带的绕行方式有关，可同向转动，也可反向转动. ②定量关系:由于A、B两点相当于皮带上的不同位置的点，

所以它们的线速度必然相同，二者角速度与其半径成反比、周期与其半径成正比

①运动特点:当A顺时针转动时，B逆时针转动；当A逆时针转动时，B顺时针转动. ②定量关系: va=vb(线速度)；(3)齿轮传动

如图所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮用齿啮合.两个轮子在同一时间内转过的齿数相等，或者说，A、B两点的线速度相等，但它们的转动方向恰好相反

TAr1n1Ar2n2;TBr2n2Br1n1(n1、n2分别表示两齿轮的齿数) 针对训练1 如图4-2-5所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触.当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力.自行车车轮的半径R1=35 cm，小齿轮的半径R2=4.0 cm，大齿轮的半径R3=10.0 cm.求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比.(假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动)

图4-2-5 解析:大小齿轮间、摩擦小轮与车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v

=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同.由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1∶n2=2∶175. 答案:n1∶n2=2∶175 题型二

圆锥摆问题分析

【例2】(2008广东高考，17)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-2-6所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.

图4-2-6 思维快车:本题实质为“圆锥摆”问题，准确分析其受力和圆周半径是解题关键. 解析:设转盘转动角速度ω时，夹角为θ，座椅到中心轴的距离为

R=r+Lsinθ①

对座椅受力分析，由牛顿第二定律有

F合=mgtanθ=mRω2②

由①②两式联立得

gtan.

rLsin答案:

gtan.

rLsin规律总结

圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动.其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平，也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力平衡)，“火车转弯”、“飞机在水平面内做匀速圆周飞行”等在水平面内的匀速圆周运动的问题都属于此类问题. 针对训练2 如图4-2-7所示，小球在悬绳拉力作用下在水平面内做匀速圆周运动，试分析图中的θ(小球悬线与竖直方向的夹角)与小球线速度v、周期T的关系(悬绳长度为l，小球半径不计).

图4-2-7 解析:如图所示，小球做匀速圆周运动的圆心在与小球等高的水平面上，向心力是重力G和绳子拉力F的合力(也可认为是绳子拉力在水平方向的分力)，沿水平方向指向圆心，根据几何关系有

v2mgtanmm2lsin

lsin由此可得

vgltansin

T2lcos

g可见，θ越大，v越大，T越小. 答案:

vgltansin

T2lcos

g题型三

涉及圆周运动的力学综合题

【例3】(2008山东高考理综，24)某兴趣小组设计了如图4-2-8所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切.弹射装置将一个小物体(可视为质点)以va=5 m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出.小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3，不计其他机械能损失.已知ab段长L＝1.5 m，数字“0”的半径R＝0.2 m，小物体质量m=0.01 kg,取g=10 m/s2.求:

图4-2-8 (1)小物体从p点抛出后的水平射程. (2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向. 思维快车:本题属于物体在竖直平面内做圆周运动的“杆模型”，小球通过轨道最高点的最小速度可以为零.

解析:(1)设小物体运动到p点时的速度大小为vc，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得

1122mgLmg2Rmvcmva①

22小物体自p点抛出后做平抛运动，设水平射程为s，根据平抛运动规律有

2R12gt②

2s=vct③

联立①②③式，代入数据解得

s=0.8 m. (2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，根据牛v顿第二定律有Fmgmc④

R联立①④式，代入数据解得

F＝0.3 N，正值表示方向竖直向下. 答案:(1)s=0.8 m

(2)F＝0.3 N，正值表示方向竖直向下

误区警示

对于涉及圆周运动的力学综合题目往往同时考查圆周运动、平抛运动、动量守恒、能量守恒等多个考点，要对问题作综合性分析.同时，分析此类问题还要注意以下两点:①有时还要涉及能否通过最高点的临界分析，这时一定要分析清楚是“线模型”还是“杆模型”；②向心力对物体不做功. 课堂小结

5分钟总结训练

1.如图4-2-9所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA=2RB.当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上.若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为(

) 2

A.RB/4

B.RB/3

图4-2-9 C.RB/2

D.RB

解析:由图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由v得RAv/RARB1.

Bv/RBRA2因A、B材料相同，故木块与A、B的动摩擦因数相同，

由于小木块恰能在A边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大值μmg，得μmg =mωA2RA

(①式)；设放在B轮上能使木块相对静止的距B转轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故μmg=mωb2r(②式).①②式左边相等，故mωA2RA=mωB2r；

r(A2RR1)RA()2RAAB,所以选项C正确. B242答案:C 2.有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为(

) A.游客受到的筒壁的作用力垂直于筒壁

B.游客处于失重状态

C.游客受到的摩擦力等于重力

D.游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势

解析:人做圆周运动的向心力由容器壁的弹力提供；竖直方向人受到的静摩擦力跟重力是一对平衡力，C选项正确；游客受到筒壁的作用力为弹力和摩擦力的合力，不与筒壁垂直，A选项错；游客在竖直方向加速度为零，故不是处于失重状态，B选项错；转速增大时，游客仍有沿筒壁下滑的趋势，受到向上的静摩擦力作用，D选项错. 答案:C 3.(2009届江苏郑集高级中学阶段性测试，7)一个质量为2 kg的物体，在5个共点力作用下处于匀速直线运动状态.现同时撤去大小分别为10 N和15 N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体运动的说法中正确的是(

) A.可能做匀减速直线运动，加速度大小是10 m/s2

B.可能做匀速圆周运动，向心加速度大小是5 m/s2

C.可能做匀变速曲线运动，加速度大小可能是5 m/s2

D.一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是10 m/s2

解析:本题考查物体做直线运动、曲线运动(含圆周运动)的条件.根据题意可知撤去两个力以后，物体受到的合外力大小范围是5～25 N，根据牛顿第二定律可得其加速度大小范围是2.5～12.5 m/s2，如果加速度和原有速度共线，物体做匀变速直线运动，A正确；如果加速度和原有速度不共线，物体做匀变速曲线运动，C正确；由于不满足圆周运动条件，所以物体不做匀速圆周运动. 答案:AC 解题思路模块