用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程教案评析

§2．2 配方法(第1课时) 教学目标

(一)教学知识点

2 1．会用开平方法解形如(x+m)=n(n≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法．

(二)能力训练要求

2 1．会用开平方法解形如(x+m)=n(n≥0)的方程；理解配方法．

2．体会转化的数学思想方法．

3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

(三)情感与价值观要求

通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力．

教学重点

利用配方法解一元二次方程

教学难点

2 把一元二次方程通过配方转化为(x+m)＝n(n≥0)的形式．

教学方法

讲练结合法

教学过程

Ⅰ．创设现实情景，引入新课

[师]前面我们曾学***方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? [生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 2 用式子表示：若x=a，则x叫做a的平方根．

[生乙]平方根有下列性质：

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的．

(2)零的平方根是零．

(3)负数没有平方根．

2 [师]很好，那你能求出适合等式x=4的x的值吗? 2 [生]由x＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值为2和-2．

[师]很好；下面我们来看上两节课研究过的问题．(出示投影片§2．2．1 A) 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?

[师]由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离x(m)满足x+12x-15＝0．上节课我们已求出了x的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗? ……

2

1

这节课我们就来研究一元二次方程的解法．

Ⅱ．讲授新课 [师]我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下：你能解哪些一元二次方程? 2 [生甲]等式x=4就是一元二次方程，

像这样类型的方程我们就能解. 2 [生乙]方程(x+3)＝9，我们也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x＝0或x＝-6．

[师]乙同学分析得很好，大家听清楚了没有?……好，下面大家看大屏幕(出示投影片§

2．2．1 B) 你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的? 22(1)x＝5； (2)3x＝0；

22(3)x-4＝0； (4)2x-50＝0；

22(5)(x+2)＝5； (6)(x-3)＝6；

2(7)2x+50＝0．

[生甲]方程(1)的解为5

，-5，因为x是5的平方根．

方程(2)的解为0，因为方程3x＝0可以化为x＝0，即x是0的平方根．

[生乙]方程(3)可以通过移项化为方程

2(1)的形式，即x＝4，所以方程(3)的根为2，-2．

22 方程(4)也可以通过移项化为方程(2)的形式，即2x＝50，然后再化为x＝25，因此

方程(4)的根为5，-5．

[生丙]解方程(5)和(6)时，只要把(x+2)和(x-3)当作整体看待，其形式就如方程

(1)，这样方程(5)和(6)即可求解．

方程(5)就是求(x+2)，使它的平方为5，则x+2就等于5

或-5

，因此，x就等于-2+5或-2-5．

方程(6)就是求(x-3)，使它的平方为6，则(x-3)就等于6

或-6

，因此，x等于

3+6

或3-6．

[生丁]方程(7)通过移项得2x＝-50．

而由平方根的性质可知：负数没有平方根，所以没有一个实数适合这个方程．

[师]同学们分析得真棒，大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．其中适合方程(7)的实数x不存在，所以原方程无实数解．

从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我们在书写时，通常用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根．

注意：

2 (1)方程3x＝0有两个相等的实数根，即x1=0，x2=0．这与一元一次方程3x=0有一个根x＝0是有区别的．

22 (2)刚才我们解的一元二次方程，可用形式ax+c=0来表示．当a、c异号时，方程ax+c222

2

＝0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，ax+c=0没有实数根．

好，接下来同学们来看大屏幕(出示投影片§2．2．1 C)。分组讨论讨论．

判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解? 2(1)x-4x+4＝2；

2(2)x+12x+36＝5．

[生甲]方程(1)能用开平方法求解．因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2)＝2．这样利用直接开平方法可得x-2=±2，即x1=2+2，22x=2-2. 2 [生乙]方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)，即原方程化为(x+6)=5．两边分别开平方，得x+6＝±5，

即x1＝-6+5，x2＝-6-5

[师]很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢? 2 [生]解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)＝n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程．

[师]真棒，实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原方程“降次”，“降次”也是一种数学方法．

2 下面我们来看能否求出方程x+12x-15=0的精确值，同学们先来想一想：(出示投影片§2．2．1 D) 222解方程x+12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x+12x-15＝0转化成(x+m)=n的形式吗? 22 [生]解方程x+12x-15＝0的困难就是：怎么样能把x+12x-15=0的左边变成一个完全平方形式，右边变成一个非负数．

[师]噢，那想一想完全平方式的特征是什么? 222 [生]完全平方公式是:a±2ab+b＝(a±b)

[师]好，下面大家来做一做．(出示投影片§2．2．1 E) 填上适当的数，使下列等式成立．

22(1)x+12x+ ＝(x+6)；

22(2)x-4x+ =(x- )；

2(3)x+8x+ ＝(x+ )2．

[生甲](1)的左边应填上：36．

(2)的左边应填上4，右边填；2．

(3)的左边应填上16，右边填：4．

[生乙]老师，我看出来了，这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方；而右边填的是：一次项系数的一半．是吗? [师]大家说呢? [生齐声]是．

22 [师]好，我们理解了完全平方式的特征后，把方程；x+12x-15＝0转化为(x+m)＝n的形式．

2 [师生共析]x+12x-15＝0，

可以先把常数项移到方程的右边，得

2 x+12x＝15．

2

3

两边都加上6(一次项系数12的一半的平方)，得

222 x+12x+6=15+6，

2 即(x+6)＝51．

2 [师]接下来能否求出方程x+12x-15＝0的精确值，即梯子底端滑动的距离呢? [生齐声]能，给方程两边开平方，得

x+6＝±51，

即x+6＝51或x+6＝-51

所以x1＝-6+51,2＝-6-51．

[师]噢，所以梯子底端滑动了(-6+51)m或(-6-51)m．

[生]老师，梯子底端滑动的距离是正数，不能是负数，所以x1是原问题的解，而x2不是．

[师]大家说，对吗? [生齐声]对．

2 [师]很好，x1，x2是方程x+12x-15＝0的根，但x2不是原问题的解，所以应舍去．

2 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x+12x-15＝0的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法(Solving by completing the square)．

下面同学们来看一例题：

2 [例题]解方程x+8x-9＝0．

[师]大家能独立解这个方程吗? [生齐声]能．

解：可以把常数项移到方程的右边，得

2 x+8x＝9．

两边都加上16，得

2 x+8x+16＝9+16，

2 即(x+4)=25．

开平方，得

x+4＝±5，

即x+4=5或x+4＝-5．

所以x1＝1，x2＝-9．

[师]很好，由此我们可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为2(x+m)＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．

注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当n≥0时，方程有解；当n<0时，左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此方程在实数范围内无解．

接下来，通过做练习来进一步巩固本节所学的内容．

Ⅲ．课堂练习

课本P49随堂练习 1 1．解下列方程

22 (1)x-10x+25＝7；(2)x+6x＝1．

2 解：(1)x-10x+25＝7，

2

4

(x-5)2＝7，

x-5=±7，

即x-5=7或x-5=-7，

所以x1＝5+7，x2＝5-7

(2)x2+6x＝1，

x2+6x+9＝1+9，

(x+3)2＝10，

x+3＝±10，

即x+3＝10或x+3＝-10．

所以x1＝-3+10，x2＝-3-10．

Ⅳ．课时小结

这节课我们研究了一元二次方程的解法：

(1)直接开平方法．

(2)配方法．

Ⅴ．课后作业

(一)课本p33 1、2 (二)1．预习下节内容

． 板书设计

§2.2．1 配方法(一) 一、(1)x2＝4，

x＝±2．

(2)(x+3)2＝9，

x+3＝±3，

x+3＝3或x+3＝-3，

x1=0，x2＝-6．

这种方法叫直接开平方法．

(x+m)2＝n(n≥0)．

二、解：x2+12x-15＝0，

x2+12x＝15，

x2+12x+62＝15+62，

即(x+6)2＝51，

x+6＝±51，

即x+6＝51或x+6＝-51，

x1＝-6+51，x2＝-6-51 (舍)．

5

梯子底端滑动的距离是(-6+51)米．这种解一元二次方程的方法称为配方法．

例1：解方程x+8x-9＝0 三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业

2

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