三元一次方程组的解法2优秀教案案例

8.4三元一次方程组的解法

一、教学目标

知识与技能：

掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.

过程与方法：

在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.

情感态度与价值观：

培养学生类比学习、敢于创新的精神.

二、教学重难点

【重点】

三元一次方程组的解法.

【难点】

三元一次方程组的解法的选择.

三、激情导入

导入一: 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张.

教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.

师:怎样解决这个问题,同学们自然会想到列方程(组)的办法.老师相信大家会通过列一元一次方程、二元一次方程组来解决问题.不过老师想提出一个挑战性的问题,大家能用设三个未知数的方法解决这个问题吗? [设计意图]

不在解决问题的方法上耗费时间,直接提出与本课时相关的学习内容,用提出“挑战”的方式激发学生的学习兴趣.

四、自主探究

一、三元一次方程组的定义

[过渡语]

(针对导入一)假如我们设三个未知数来解决这个问题,需要建立怎样的方程呢? 师:为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢? 生:(思考后回答) x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.

问题1 怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢? (把三个方程组合在一起.这里暂时可以不用三元一次方程组的概念表达.)

问题2 观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同? (方程组中含有三个未知数.) [设计意图]

通过问题引入,引发学生的思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引入三元一次方程组的概念.

问题3 什么是三元一次方程组? 含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

[知识拓展]

本节常出现的错误是对三元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数为1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+z=0也是三元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如三元一次方程ax+y+z=6中,a≠0这个条件.

二、三元一次方程组的解法

(1)思路提示: 我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢? (2)消元过程: 让我们看前面列出的三元一次方程组:

仿照前面学过的代入法,我们可以把③分别代入①②,得到两个只含y,z的方程: 4y+y+z=12.

4y+2y+5x=22.

它们组成方程组:

得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.

(3)思路总结:

从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.

[设计意图]

主要引导学生用“消元”思想去解三元一次方程组.这是类比思想的再次运用,是学生顺利实现知识迁移的必要条件.

三、解方程组

解三元一次方程组:

〔解析〕

方程①只含x,z,因此,可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组.

解:②×3+③,得11x+10z=35.④

①与④组成方程组

解这个方程组,得

把x=5,z=- 2代入②,得2×5+3y- 2=9, 所以y=.

因此,这个三元一次方程组的解为

[知识拓展]

解三元一次方程组和解二元一次方程组的方法一样,都是消元,但是有些特殊的三元一次方程组可以用一些特殊的解法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.

追问:你还有其他解法吗? [设计意图]

单就例1而言,先消去哪个未知数建立新的二元一次方程组的方法是多种的,所以这个设问对启迪学生灵活解三元一次方程组是非常必要的.

[过渡语]

学会了三元一次方程组的解法,我们就可以利用三元一次方程组解决一些问题.

在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.

〔解析〕

把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.

解:根据题意,得三元一次方程组:

②- ①,得a+b=1.④

③- ①,得4a+b=10.⑤

④与⑤组成二元一次方程组

解这个方程组,得

把代入①,得c=- 5.

因此

即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.

[知识拓展]

(1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解;(3)三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.

五、课堂小结

用消元法解三元一次方程组的步骤: ①利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组; ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值; ③将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解.

六、检测反馈

1.以A.3x- 4y+2z=3 为解建立一个三元一次方程,不正确的是

(

) B.x- y+z=- 1 C.x+y- z=- 2 D.y- z=1

解析:将C.

分别代入四个选项,只有C选项的方程两边不相等.故选2.若方程x+y+m=4,x- y- 2m=- 1和x- 2m+2y=2有公共解,则x+y+m的值为

.

解析:根据题意得4.

解得

∴x+y+m=4.故填3.如图①所示,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图②所示,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与

个砝码C的质量相等.

解析:此题可以分别设砝码A,B,C的质量是x,y,z.然后根据两个天平平衡列方程组,消去y,得到x和z之间的关系即可.设砝码A,B,C的质量是x,y,z.根据题意,得的质量相等.故填2.

①+②,得2x=4z,x=2z.即1个砝码A与2个砝码C4.解方程组

解:①+③,得5x+5y=25.④

②+③×2,得5x+7y=31.⑤

④与⑤组成方程组解这个方程组,得把x=2,y=3代入①,得3×2+2×3+z=13,z=1.∴七、板书设计

8.4

三元一次方程组的解法

1.三元一次方程组的定义

2.三元一次方程组的解法

3.解方程组

例1 例2 八、布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第106页练习第1,2题.

【选做题】

教材第106页习题8.1第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列方程组不是三元一次方程组的是 (

)

A.

B.

C.

D.

2.解方程组A.先消去x B.先消去y

若要使运算简便,则消元的方法应为

(

) C.先消去z D.以上说法都不对

3.如果方程组的解也是方程mx- 2y+z=0的解,那么m的值是 (

) A.

B.-

C.

D.-

4.已知方程组则x+y的值为

.

5.有这样一道数学题,在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=4;当x=2时,y=4;当x=5时,y=22.请你列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c的值.

【能力提升】

6.已知A.9 B.- 3 C.12 且x+y=3,则z的值为

(

) D.不确定

7.为了奖励进步较大的学生,某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品,其单价分别为4元、5元、6元,购买这些钢笔需要花60元.经过协商,每种钢笔单价下降1元,结果只花了48元,那么甲种钢笔可能购买

(

)

A.11支

B.9支

C.7支

D.4支

8.如图所示,天平中放有苹果、香蕉、砝码,且两个天平都平衡,则一个苹果的质量是一个香蕉的质量的 (

) A.倍

B.倍

C.2倍

D.3倍

9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文x,y,z对应密文2x+3y,3x+4y,3z.例如:明文1,2,3对应密文8,11,9.当接收方收到密文12,17,27时,则解密得到的明文为

.

10.有一个三位数,其各位上的数字之和为16,十位上的数字为百位与个位上的数字之和,如果将这个三位数的个位数字和百位数字对换,那么所得到的三位数比原来的三位数大594,求这个三位数是多少.

【拓展探究】

11.某步行街摆放若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成.乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成.丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花,3750朵紫花,则黄花一共用了

朵.

12.有甲、乙、丙三种商品,若购买甲3件,乙7件,丙1件,共需5.8元;若购买甲4件,乙10件,丙1件,共需6.3元.购买甲、乙、丙各一件共需多少元? 【答案与解析】

1.B(解析:含有三个未知数,含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组,B选项中的第一个方程x2- 4=0中未知数的次数是2,不满足条件.故选B.) 2.D(解析:①+②可消去x,z,求出y;①+③可消去y,z,求出x;②+③可消去x,y,求出z.故选D.) 3.C(解析:方程组的解为将其代入方程mx- 2y+z=0得2m+2- 5=0,解得m=.故选C.) 4.2(解析:两个方程相加消去z得7x+7y=14,所以x+y=2.故填2.) 5.解:根据题意,得

②- ①,得a+b=0.④

③- ①,得4a+b=3.⑤

④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组,得把a=1,b=- 1代入①,得c=2.所以

6.B(解析:把z当成已知数,解方程组得然后将其代入x+y=3,得2z+18+(- z- 12)=3,解得z=- 3.故选B.)

7.D(解析:设甲种钢笔购买x支,乙种钢笔购买y支,丙种钢笔购买z支,根据题意得题意.故选D.) 其中x=11,x=9,x=7时都不符合题意;x=4时,y=4,z=4符合8.B(解析:设一个苹果的质量为x,一个香蕉的质量为y,一个砝码的质量为z,由题意得解得x=2z,y=z,∴==.故选B.) 9.3,2,9(解析:根据题意列方程组得解得) 10.解:设这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为x,y,z,根据题意,得解得答:这个三位数是187.

11.4380(解析:题中有两个等量关系:甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵,甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵.设步行街摆放甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆.由题意,得

由①得3x+2y+2z=580③,由②得x+z=150④.把④代入③得x+2y=280,∴2y=280- x,由④得z=150- x.∴4x+2y+3z=4x+(280- x)+3(150- x)=730,∴24x+12y+18z=6(4x+2y+3z)=6×730=4380.故黄花一共用了4380朵.) 12.解:设购买甲、乙、丙各一件分别需x元、y元、z元,则有把方程组变为:丙各一件共需4.8元.

解得x+y+z=4.8.答:购买甲、乙、

九、教学反思

学习三元一次方程和三元一次方程组的相关知识,是在类比二元一次方程和二元一次方程组的基础上进行的,本课时的教学活动是在类比思想的指导下进行的,把知识类比的探索活动交给学生来完成,既巩固了旧知识,又顺利地进行了新知识的学习.

由于解三元一次方程组的过程比较复杂,因此在例题的演示过程中花费的时间比较多,在这个过程中淡化了对解三元一次方程组方法的指导.

在学习本课时时可以采取目标教学的方法,让学生带着什么是三元一次方程、什么是三元一次方程组、怎么解三元一次方程组、三元一次方程组的简单应用等问题先进行探索,然后进行师生交流和总结.