2.2.1 直线的参数方程教学设计模板

三直线的参数方程

一、理解教材新知

1．直线的参数方程

x＝x0＋tcos α(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)．

y＝y0＋tsin α

(2)由α为直线的倾斜角知

α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t的几何意义

参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．

(1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．

(2)当M0M―→与e反向时，t取负数．

(3)当M与M0重合时，t＝0.

二、把握高考考点

直线的参数方程

x＝－3＋23t，[例1]

已知直线l：1y＝2＋t2(2)求直线l的倾斜角；

(t为参数)．

(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；

(3)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义．

[思路点拨]

(1)直接代入t的值求解；

(2)把直线的参数方程化为普通方程求倾斜角或把直线的参数方程化为标准形式求倾斜角；

(3)利用参数t的几何意义，即M0M―→＝te求解．

x＝－3＋23t，[解]

(1)由直线l：1y＝2＋t2

(t为参数)知，当t＝0,2，－2时，分别对应直线l上的点(－3，2)，(0,3)，(－23，1)．

x＝－3＋23t，(2)法一：把直线l：1y＝2＋t2

(t为参数)化为普通方程为y－2＝3(x＋3)，3

设直线l的倾斜角为α，则k＝tan α＝3ππ(0≤α<π)，解得α＝.故直线l的倾斜角为. 366πx＝－3＋tcos 6，法二：易知直线l：πy＝2＋tsin 6π故直线l的倾斜角为. 6

(t为参数)，

π则直线l过定点M0(－3，2)，且倾斜角为，

6ππ31cos ，sin ＝，，且M0(－3，2)，

(3)由(2)可知直线l的单位向量e＝6622又已知M(－33，0)，

所以M0M―→＝(－23，－2)＝－43，1＝－4e，

22所以点M(－33，0)对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M―→|＝4，且M0M―→与e方向相反．

理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．

x＝1＋t，1．直线(t为参数)的倾斜角为(

) y＝2－3tπA.

34πC.

32πB.

35πD.

31x＝1＋t＝1－·－2t，233t＝2＋·－2t.2

解析：选B

因为y＝2－sin θ＝23，所以1cos θ＝－.2距离．

因为θ∈[0，π)，所以θ＝2π. 3π2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的4

x＝3＋22t，解：设直线的参数方程为2y＝4＋t，2将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，

得33＋

22t＋24＋t＝6，

22112，

5解得t＝－112∴|MP0|＝|t|＝. 5

直线的参数方程的应用

4[例2]

已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，3设线段AB的中点为M，求：

(1)P，M两点间的距离|PM|；

(2)点M的坐标，线段AB的长|AB|. [思路点拨]

首先由参数方程的概念求出直线l的参数方程，然后再利用参数的几何意义求解．

44[解]

(1)因为直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线的倾斜角为α，则tan α＝，cos α3334＝，sin α＝，所以直线l的参数方程为554y＝5t3x＝2＋t，5

(t为参数)．

因为直线l和抛物线相交，将直线l的参数方程代入抛物线y2＝2x中，

整理得8t2－15t－50＝0. 因为Δ＝(－15)2＋4×8×50>0，

所以设这个二次方程的两个实根为t1，t2. 1525则t1＋t2＝，t1t2＝－，

84因为M为AB的中点，根据t的几何意义，

t1＋t215所以|PM|＝2＝16. (2)因为中点M所对应的参数为tM＝15，将此值代入直线l的参数方程①，得点M坐标16

为415y＝5×16.315x＝2＋×，516

413即M16，4，

|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝573. 8

求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．

π3．直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．

6(1)求弦长|AB|；

(2)求A，B两点坐标．

π解：(1)∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，

6x＝－4＋23t，∴直线l的参数方程为ty＝2.代入圆方程，得－4＋

3212t＋t＝7. 22整理得t2－43t＋9＝0.①

设A，B对应的参数分别t1和t2，

由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1t2＝9，

∴|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23. (2)解①得t1＝33，t2＝3，代入直线参数方程

x＝－4＋23t，1y＝2t，

133，B点坐标－5，3. 得A点坐标，2222x＝3cos α，4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原y＝sin α

πθ－＝2. 点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin4

(1)求C的普通方程和l的倾斜角；

(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|. 解：(1)由x＝3cos α，消去参数α，得x22y＝sin α

9＋y＝1，

即C的普通方程为x229＋y＝1. 由ρsinθ－π4＝2得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将x＝ρcos θ，代入(*)，化简得y＝x＋2. y＝ρsin θ

所以直线l的倾斜角为π4. x＝tcos π(2)易知点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为4，y＝2＋tsin π4

x＝22t，y＝2＋22t

(t为参数)，

代入x29＋y2＝1并化简，得5t2＋182t＋27＝0，

Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t＋t1822712＝－5<0，t1t2＝5>0，

所以t1<0，t2<0，

所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t22|＝－(t1＋t2)＝185.

(t为参数)，即