课外读物教学设计第二课时

7.8．机械能守恒定律

三维目标

知识与技能

1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化；

2．正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件；

3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒并能列出机械能守恒的方程式。

过程与方法

1．学会在具体的问题中判定物体的机械能是否守恒；

2．初步学会从能量转化和守恒的观点来解释物理现象，分析问题。

情感、态度与价值观

通过能量守恒的教学，使学生树立科学观点，理解和运用自然规律，并用来解决实际问题。

教学重点

1．掌握机械能守恒定律的推导、建立过程，理解机械能守恒定律的内容；

2．在具体的问题中能判定机械能是否守恒，并能列出定律的数学表达式。

教学难点

1．从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒的条件；

2．能正确判断研究对象在所经历的过程中机械能是否守恒，能正确分析物体系统所具有的机械能，尤其是分析、判断物体所具有的重力势能。

教学方法

演绎推导法、分析归纳法、交流讨论法。

教学工具

投影仪、细线、小球、带标尺的铁架台、弹簧振子。

教学过程

［新课导入］

我们已学习了动能、重力势能和弹性势能。各种形式的能可以相互转化，物体所受合外力所做的功等于物体动能的改变，重力对物体所做的功等于物体初位置的重力势能与末位置重力势能的差。

在一定条件下，物体的动能与势能（包括重力势能和弹性势能）可以相互转化，本节课

我们就来定量地研究它们间相互转化时遵循的规律。

［新课教学］

一、动能与势能的相互转化

1．动能和重力势能的相互转化

【演示】

如图所示，一个用细线悬挂的小球从A点开始摆动。记住它向右能够达到的最大高度。然后用一把直尺在P点挡住摆线，看一看这种情况下小球所能达到的最大高度。

你认为这个小实验说明了什么？

用细线、小球、带有标尺的铁架台等做实验。把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，小球在摆动过程中，重力势能和动能相互转化。我们看到，小球可以摆到跟A点等高的C点，如图甲。如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到C点，但摆到另一侧时，也能达到跟A点相同的高度，如图乙。

问题：这个小实验中，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？这个小实验说明了什么？

观察演示实验，思考问题。

小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用。拉力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有重力对小球能做功。

结论：小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化。在摆动过程中，小球总能回到原来的高度。可见，重力势能和动能的总和保持不变。即机械能保持不变。

物体自由下落或沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减少。减少的重力势能到哪里去了？我们发现，在这些过程中，物体的速度增加了，表示物体的动能增加了。这说明，物体原来具有的重力势能转化成了动能。

原来具有一定速度的物体，由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面上升，这时重力做负A

甲

C

A

乙

P

C

功，物体的速度减小，表示物体的动能减少了。但这时物体的高度增加，表示它的重力势能增加了。这说明，物体原来具有的动能转化成了重力势能。

2．动能和弹性势能的相互转化

不仅重力势能可以与动能相互转化，弹性势能也可以与动能相互转化。被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，而物体得到一定的速度，动能增加。射箭时弓的弹性势能减少，箭的动能增加，也是这样一种过程。

【演示】

如图所示，水平方向的弹簧振子。用弹簧振子演示动能和弹性势能的相互转化。

问题：这个小实验中，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？这个小实验说明了什么？

观察演示实验，思考问题。

小球在往复运动过程中，竖直方向上受重力和杆的支持力作用，水平方向上受弹力作用。重力、支持力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有弹簧的弹力对小球能做功。

结论：小球在往复运动过程中弹性势能和动能在不断转化。小球在往复运动过程中总能回到原来的位置，可见，弹性势能和动能的总和应该保持不变。即机械能保持不变。

【思考讨论】

动能转化为重力势能或弹性势能时，重力或弹力做负功。你能举出这样的例子吗？

通过上述分析可知，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。动能和势能之间可以相互转化，那么在动能和势能的转化过程中，动能和势能的和是否真的保持不变？下面我们就来定量讨论这个问题。

二、机械能守恒定律

1．机械能 （1）物体的动能和势能之和称为物体的机械能。机械能包括动能、重力势能和弹性势能。

动能和势能（包括重力势能和弹性势能）属于力学范畴，统称为机械能。

（2）表达式

动能和势能都是标量、状态量，某状态的机械能E也是标量、状态量。

同一状态的动能和势能之和为该状态的机械能，即

E＝EK＋EP

不同时刻或状态的动能与势能之和不表示机械能。

2．机械能守恒定律的推导 动能与势能的相互转化是否存在某种定量的关系？这里以动能与重力势能的相互转化为例，讨论这个问题。

我们讨论物体只受重力的情况，如自由落体运动或各种抛体运动；或者虽受其他力，但其他力并不做功，如物体沿如图所示光滑曲面滑下的情形。一句话，在我们所研究的情形里，只有重力做功。

在图中，物体在某一时刻处在位置A，这时它的动能是Ek1，重力势能是EP1，总机械能是E1＝Ek1＋EP1。经过一段时间后，物体运动到另一位置B，这时它的动能是Ek2，重力势能是EP2，总机械能是E2＝EK2＋EP2。

以W表示这一过程中重力所做的功。从动能定理知道，重力对物体所做的功等于物体动能的增加，即

W＝EK2－EK1

另一方面，从重力的功与重力势能的关系知道，重力对物体所做的功等于重力势能的减少（见本章第四节“重力势能”），即

W＝EP1－EP2

从以上两式可得

EP1－Ep2＝Ek2－EK1

移项后，有

Ek2＋EP2＝Ek1＋EP1

即

E2＝E1

可见，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

同样可以证明，在只有弹簧弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以互相转化，总的机械能也保持不变。

3．机械能守恒定律

（1）内容

在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。这叫做机械能守恒定律（law of conservation of mechanical energy）。

它是力学中的一条重要定律，是普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。

（2）机械能守恒的条件

①只有重力对物体做功时物体的机械能守恒

在前面的证明过程中可以看到，在只有重力做功的情况下，只引起动能和重力势能之间的相互转化，物体的机械能守恒。

只有重力做功与物体只受重力不同。

所谓只有重力做功，包括两种情况：a．物体只受重力，不受其他的力；

b．物体除重力外还受其他的力，但其他力不做功。

而物体只受重力仅包括一种情形。

②弹簧和物体组成的系统的机械能守恒

以弹簧振子为例（未讲振动，不必给出弹簧振子名称，只需讲清系统特点即可），简要分析系统的弹性势能与动能的转化。

放开被压缩的弹簧，可以把跟它接触的小球弹出去，在小球被弹簧弹出的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能。类比得到：如果有弹力做功，动能和弹性势能之和保持不变，即机械能守恒。 所谓只有弹力做功，包括物体只受弹力作用，不受其他的力；物体除受弹力外还受其他的力，但其他力不做功。

进一步定量研究可以证明，在只有弹簧弹力做功条件下，物体的动能与势能可以相互转化，物体的机械能总量不变。

从功的角度来表述机械能守恒的条件是：

只有重力和弹簧弹力对物体做功，其它力不做功或功等于零。

在中学阶段主要定量计算重力势能和动能之间相互转化时的机械能守恒，因而课本中只强调只有重力做功这个条件。但要注意分析含有弹簧弹力做功情况下机械能守恒的定性分析。

从能量的角度来表述机械能守恒的条件：

对某一物体系统，如果没有摩擦和介质阻力，只发生动能和势能的相互转换，无机械能和非机械能的转换，则物体系统的机械能保持不变。

（3）表达式

初状态的机械能跟末状态的机械能相等。

E1＝E2

机械能的变化量为零。

ΔE＝0 初状态的动能和势能之和等于末状态的动能和势能之和。

EP1＋Ek1＝EP2＋Ek2

动能（或势能）的增加量等于势能（或动能）的减少量。

ΔEP＝－ΔEK

A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。

ΔEA＝－ΔEB

（4）说明

①机械能守恒定律说明了机械能中的动能和势能这两种形式的能量在一定条件下可以相互转化，同时还说明了动能和势能在相互转化的过程中所遵循的规律，即总的机械能保持不变。

②机械能守恒定律的研究对象为物体系统，因机械能中的势能属物体系统共有。定律中所说“物体”为习惯说法，它实际上应为包括地球在内的物体系统。

4．机械能守恒定律的应用

【例题1】把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图），摆长为l，最大偏角为θ。小球运动到最低位置时的速度是多大？

分析 小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。

小球在最高点只有重力势能，没有动能，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。

小球在最高点与最低点的高度差为l－lcosθ，这点可由几何关系得出。

解 小球在最高点作为初状态，如果把最低点的重力势能定为0，在最高点的重力势能就是EP1＝mg（l－lcosθ），而动能为零，即EK1＝0。

小球在最低点为末状态，势能EP2＝0，而动能可以表示为EK2＝mv2。

运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即

12Ek2＋EP2＝Ek1＋EP1

把各个状态下动能、势能的表达式代入，得

12mvmg(llcos)

2由此解出

v2gl(1cos)

解决一个问题之后要对结论进行分析。如果与已有的知识或日常经验不一致，则要认真考虑，看看是否出现了错误。

从得到的表达式可以看出，初状态的θ角越大，cosθ越小，（1－cosθ）就越大，v也

就越大。也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最下端时的速度也就越大。这与生活经验是一致的。

另解：选择A、C点所在的水平面作为参考平面时，小球在最高点时的机械能为E1＝Ep1＋Ek1＝0，小球摆球到达最低点时的，重A 12力势能Ep2＝－mgh＝－mgl(1－cosθ)，动能Ek2＝mv，机械能21E2＝Ep2＋Ek2＝mv2－mgl(1－cosθ)。

2根据机械能守恒定律有

0＝mv2－mgl(1－cosθ) 所以v2gl(1cos)

【例题2】一个物体从光滑斜面项端由静止开始滑下，如图。斜面高1m，长2m。不计空气阻力，物体滑到斜面底端的速度是多大？

解法一：用动力学运动学方法求解。

物体受重力mg和斜面对物体的支持力FN，将重力mg沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解，沿斜面方向根据牛顿第二定律有 h B A θ

l C O 12mgsinθ＝ma 得a＝gsinθ

FN

h1又sinθ＝ L2故a＝4.9 m/s

22aL

又vt2v02mg 所以vt＝2aL＝4.4 m/s。

解法二：用机械能守恒定律求解。

物体沿光滑斜面下滑，只有重力做功，物体的机械能守恒。以斜面底端所在平面为零势能参考平面。物体在初状态的机械能E1＝Ep1＋Ek1＝mgh，末状态的机械能E2＝Ep2＋Ek2＝mv2。

根据机械能守恒定律有

121mgh＝mv2

2所以v2gh＝4.4m/s。

把两种解法相比较，可以看出，应用机械能守恒定律解题，可以只考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间的过程的细节，不涉及加速度的求解。所以用机械能守恒定律解h A B 题，在思路和步骤上比较简单。如果把斜面换成光滑的曲面（如右图），同样可以应用机械能守恒定律求解，而中学阶段则无法直接用牛顿第二定律求解。

5．应用机械能守恒定律解题的一般步骤

①确定研究对象

②对研究对象进行正确的受力分析

③判定各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件

④视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能。

⑤根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解。

［小结］

本节课我们学习了机械能守恒定律，机械能守恒的条件是：只有重力或弹簧弹力做功； 在具体判断机械能是否守恒时，一般从以下两方面考虑：①对于某个物体，若只有重力做功，而其他力不做功，则该物体的机械能守恒；②对于由两个或两个以上物体(包括弹簧在内组成的系统，如果系统只有重力做功或弹簧弹力做功，物体间只有动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统与外界没有机械能的转移，系统内部没有机械能与其他形式能的转化系统的机械能就守恒。这种从能量的角度判断的方法对复杂问题更适用，也便于说明。 如果除重力或弹簧弹力之外的其他力做了功，物体系统的机械能将不守恒。其他力做了的功与机械能变化之间存在怎样的关系呢，请同学们自己去推证。

［布置作业］

教材第72页“问题与练习”。