解决问题名师教学设计2

与圆有关图形面积的计算

一．知识梳理

1．一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方。例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积要扩大9倍。

2．两个圆的半径比

等于它们的直径比等于它们的周长比，而它们的面积之比等于这个比的平方。例如：两个圆的半径之比是2∶3，那么这两个圆的直径之比和周长之比都是2∶3，而面积之比是4∶9。

3．任意一个正方形，它的面积与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即4∶π。

4．确定起跑线：

（1）每条跑道的长度＝两个半圆形跑道合成的圆的周长＋两个直道的长度。

（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度（因起跑线不同）。

（3）跑一圈，相邻两个跑道起跑时应相隔的距离是：2×π×跑道的宽度。

（4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加2πａ厘米，当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。

5．圆环的面积：一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r（R＝r＋环的宽度）。S环

＝

πR2－πｒ2或S环＝π（R2－ｒ2）。

二．教你解题

例1．下图是两个同心圆，大圆的半径是2厘米，小圆的半径是1厘米。求阴影部分的面积。

分析与解答：

1.两个圆的圆心相同，阴影部分的面积就是大小两个圆的面积之差。阴影部分就是一个圆环。大圆的半径是2厘米，小圆的半径是1厘米。

2.所以圆环的面积是π×2×2－π×1×1＝3π＝9.42平方厘米。

三．培优拓展

例1. 已知小圆的半径是1，O、D是小圆与最大圆的圆心，且OD＝DP，三个圆的圆心在OP直线上。求S1：S2的比值。

分析与解答：

1．从图中可知，小圆半径是1，大圆半径是2，中圆的直径是3。

2．如果把小圆底移到中圆的中央，阴影部分S1就成了一个圆环。同理，把中圆移到大圆的中间，阴影部分S2也成了一个圆环。这样就可以利用圆环面积公式计算阴影部分的面积。S1的面积就是中圆与小圆的面积差，S2的面积就是大圆与中圆的面积差。

3．所以，S1：S2 ＝〔π×（3÷2）2－π×12〕：〔π×22－π×（3÷2）2〕＝5：7。

例2.

下图中四个圆的圆心是正方形的顶点，它们的公共点是正方形的中心。如果每个圆的半径是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少？

分析与解答：

1．图中阴影部分面积就是四个小圆的面积之和与空白部分面积的差。正方形内空白部分的面积正好是空白部分面积的一半。

2．假如我们只看正方形中的一部分，画出正方形的对角线，则对角线长是圆半径的2倍，正方形内四个阴影部分的面积都相等，每个阴影部分的面积都是正方形面积的一半减去四分之一个圆面积的差。

13．正方形的对角线长是2厘米，所以正方形内阴影部分的面积是：（1×2÷2－π×1×1×）4×4＝0.86平方厘米。

4．正方形内空白部分的面积就是正方形面积与阴影部分面积之差。而正方形内空白部分的面积是整个图形空白部分面积的一半。所以正方形里面空白部分的面积是1×2÷2×2－0.86＝1.14平方厘米。

5．阴影部分的总面积是π×1×1×4－1.14×2＝10.28平方厘米。

1启示：利用等腰直角三角形（即正方形的一半）与90°扇形（个圆）的面积关系，通过反4复利用和变形，计算出正方形里面的阴影部分及空白部分的面积。

四．课外练习

（一）夯实基础

1．求下图阴影部分的面积。

2．两个圆的半径分别是3cm和5cm，它们直径的最简比是（

），周长的最简比是（

），面积的最简比是（

）。

3．一个半圆，半径是r，它的周长是（

）。

4．在生产、生活中，我们经常把一些同样大小的圆柱捆扎起来，下面我们来探索捆扎时怎样求绳子的长度。假设每个圆柱管的直径都是10厘米，当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如下图所示：

请你根据图形，完成下表：

圆柱管个数绳子长度（厘米）123......100

5．在一个直径是16米的圆心花坛周围，有一条宽为2米的小路围绕。小路的面积是多少平方米？

6．有一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路。求路面的面积。

（二）培优提高

7．下图大圆的半径是2厘米，小圆的半径是1厘米。求阴影部分的面积。

8．下图是三个同心圆，圆心为P，且PQ＝QR＝RS。S1是中间圆与外圆之间的圆环面积，S2是中间圆与小圆之间的圆环面积。那么S2：S1是多少？

9．下图是某学校的田径运动场，两端是同样的半圆，中间是长方形，每条跑道宽1.2米。那么在进行200米比赛中，第二道应在第一道前多少米处起跑？

10．下图四个圆的圆心刚好是四边形的顶点，四个圆的半径都是4厘米。求阴影部分的面积。

11．在下图中，正方形的面积是100平方厘米，那么整个图形的面积是多少平方厘米？

（三）冲刺名校

12．有三个面积都是S的圆形纸片放在桌面上，桌面被覆盖的面积是2S＋2，并且重合的两大块面积相等。直线a过上面两个圆心A、D，如果直线a下方被圆覆盖的面积是9，求圆面积。

13．如下图，左边阴影部分的面积比上面阴影部分的面积大了10.24平方厘米。那么图中圆的半径是多少厘米？

14．奥运会会徽是五环图，一个五环图由内圆直径为8厘米、外圆直径为10厘米的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都是相等的。已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。求阴影部分的总面积。

15．下图ACDB和COD曲线是两个半圆，CD与AB平行，已知大半圆的半径是1米，那么图中阴影部分的面积是多少平方米？

16．正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落到这条直线上。

（1）那么A点在翻滚过程中经过的路线的总长度是多少厘米？

（2）如果三角形的面积约是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？