解决问题教学评价实录

解决问题——例3 教学内容

人教版小学数学教材六年级上册第69-70页内容及相关练习

教学目标

1. 在解决问题的过程中会叙说并归纳求阴影部分面积的多种方法及能巧妙的选择合适的方法解决问题。

2.在解决问题的过程中渗透转化的数学思想,培养数学的应用意识,提高运用所学知识解决生活中实际问题的能力。

3.在运用数学知识解决问题的过程中认识数学的价值,养成乐于思考勇于质疑的习惯。

教学重点

掌握求阴影部分面积的计算方法。

教学难点

理解计算求阴影部分面积的多种方法及选择合适方法的技巧。

教学过程：

一、情境引入

师：在我们的生活中处处都有方与圆，亲爱的同学们你留意过吗？让我们一起通过一段小视频来看一看吧！

用小微课为学生介绍方与圆的历史——天圆地方。

（在古代，人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，认为大地是“方”的，天空是“圆”的，认为大地承载天空，虽然这种说法现在来看是错误的，但其本意是天圆地方，天地合一，再加上人，就是“泰”，美好的意思，这种思想对中国建筑产生了深远的影响，所以很多建筑上都有方与圆。比如，天坛，北圆南方的坛墙寓意着传统的“天圆”。赣南客家大观园整体设计外方内圆，现代的鸟巢和水立方——方圆辉映。以及常见的精美的雕窗。这些都是方与圆的结合，寓意着“天地合一”）

师：视频我们看完了，画面定格在了这扇具有中国特色的雕窗上，请同学们欣赏这扇雕窗，你能找那些基本几何图形？

生：正方形、圆

师：方与圆是数学中最常见的几何图形，很多数学问题都涉及方与圆。今天我们就一起来学习常见的方圆问题。

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（板书：解决问题）

二、新知探索

1.

认识外方内圆

师：这个组合图形中，正方形和圆的位置关系是什么？

生：外面是正方形，里面是圆，圆是正方形内的最大圆

师：你说的清楚流畅。我们把像这样的组合图形叫外方内圆。

师：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？要解决这个问题，你需要什么条件？

生：正方形边长或者圆的半径（适时发问：有不同意见吗？直到有学生说有正方形边长或者已知圆的半径即可）

师：只知道半径就行了，为什么？

生：圆的正方形内的最大圆。所以圆的直径等于正方形边长（根据学生回答显示平移过程，并显示正方形边长=圆的直径）

师：看看是这样吗（PPT显示平移过程）

师：大家知道正方形和圆的关系了，只告诉你圆的半径是1m，你能解决这个问题吗？

学生举手汇报，教师板书（注意书上格式）

（1）拓展建模

师：如果圆的半径是r，你还能解决这个问题吗？

学生独立思考并汇报

根据学生汇报板书：S阴=（2r）²-3.14r²=0.86r²

师：我们可以将之前的数据r=1m代入验证，快速计算，计算结果一致吗？（一致，说明这个代数式正确）

师：现在如果给你半径是3米，你能快速列式计算阴影部分面积吗？

生：0.86×3²

师：看图，仔细审题，阴影部分的面积是多少？

生：正方形面积就是r²，直接代入0.86×10=8.6cm²

（10为何不用平方了？这种思想叫做整体代入思想）

师：看来阴影部分面积可0.86r²这个结论来求，上一单元我们学过了比的相关知识，如果我们知道了外方与內圆的比，是否更方便解决这类问题呢？让我们一起来研究研究。

（2）深入探究

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明确每部分所对应的份数是多少

师：其实在正方形和圆之间，还有更深一层的关系呢！我们一起来看（PPT出示题目，你能求出题目中的问题吗）

组合图形“外方内圆”中，正方形与圆的面积比是（ ）：（ ）

学生独立思考并汇报

教师板书：S外方：S圆 =4:π

师：现在如果给出你正方形面积是12cm²，圆面积是多少？

生汇报：12÷4×3.14=9.42cm²，

师提问：你是如何理解的？

生：方与圆的面积比是4：π，也就是说正方形面积是4份，圆的面积就是π份，12÷4=3cm²，是一份所对应的面积，再乘3.14等于9.42cm²就是圆的面积

师：若给出圆面积是6,28，正方形面积是多少？

生汇报：6.28÷3.14×4=12cm²，并说理

师PPT显示圆和正方形面积对应的份数，

师追问：除此外，你还知道哪部分的份数？

生：方圆间阴影面积对应4-3.14=0.86份

师：那现在再给出你正方形面积是12cm²，阴影部分面积呢？

生汇报：12÷4×0.86=2.58cm²

师：同学们的分析你理解了吗？（生：理解了）谁能帮我快速填空？

PPT出示S外方：S圆：S阴

师：那如何运用这些知识解题呢？让我们一起来看看！

（3）解决问题

例1.

PPT出示题目：

师:图中黄色四角星的面积是多少平方厘米？

学生独立思考后完成

教师巡视指导

指名汇报并在实物投影上展示

生：转化成外方内圆组合图形，四角星面积就转化成了正方形与圆的面积差，也就是求0.86份对应的面积。可以根据正方形的面积是4份来求，列式为4²÷4×0.86=3.44（cm²）

师：转化成我们刚研究过的外方内圆，问题就变得简单了。还可以用0.86×（4÷2）²

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例2.

师：现在我们选取这个组合图形的一部分来进行分析，相比于外方内圆来说，正方形和圆都缩小了，缩小到了原来的几分之几？（PPT同时出外方内圆的轮廓）

生：1

4师：它们的面积比变吗？

生：不变

师：各部分对应的份数呢？

生：也不变

师：那小角上阴影面积对应多少份？

生：0.86份

师：没错，只要给出某一部分的面积，其余部分的面积就都能求了。

例3.

图中阴影部分的面积是多少？

师：图形继续变化……同学们请看，图中我画了一条线，就变成了一片美丽的叶子，这个叶子的面积你会求吗？谁能说说你的思路？

生回答

师：选择你喜欢的方法解答。

学生独立思考后，讨论交流，合作完成后举手汇报

教师巡视指导

学生汇报

生：用正方形面积-空白面积就是花瓣的面积，而空白面积刚好是2个小角的面积和，也就是2个0.86份所对应的面积。又知道正方形面积是4份，所以花瓣的面积列式为 2²÷4×（4-2×0.86）=4÷4×2.28=2.28（cm²）

例4：通过变换得到一朵花的形状，如图，阴影部分面积是多少？

师：你学会了吗？

师：下面请同学们观看一个小魔术，擦亮你们的双眼，认真看！

师：通过旋转，一片叶子变成了一片代表幸运的四叶草，它的面积你会求吗？

学生独立完成并汇报

三、认识外圆内方

师：外方内圆的问题我们暂时先研究到这，还有一扇美丽的雕窗等着们去探索呢！

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PPT显示外圆内方的雕窗逐渐抽象出组合图形的过程

师：根据这个雕窗所对应的组合图形的特征，你能给他起个名字吗？（外圆内方）

师：这里圆的半径仍是1m，怎样求出图中方圆之间部分的面积？

看情况引发学生思考：正方形边长未知，如何求面积？能转化吗？

生汇报：可以把正方形沿对角线平均分成两个完全一样的三角形，这样求正方形的面积就转化成求三角形的面积了。这两个三角形的底都是圆的直径，也就是2m，高是圆的半径1m，三角1形面积就知道了。正方形面积是三角形的2倍，可列式求出为2122m2。

2师：说的真清楚。现在谁会求阴影部分面积了？

生：阴影部分面积是3.14-2=1.14（m²）。

师：计算方法你学会了吗？同样如果我用r来表示圆的半径呢？阴影部分面积怎样表示？

1生：3.14r22rr21.14r2

2师：前面我们研究了外方內圆中的比，那外圆内方中的比的是多少呢？快速填空。

生：π:2:1.14。

师：你是怎样理解的？

生：S正方形对应2份，S圆对应π份，S阴影对应1.14份

四、巩固练习

师：对吗？下面这个图中，方中有圆，圆中有方，真可谓是方圆结合！这个组合图形中，你能看到比的关系吗？和你的同伴交流讨论吧！

学生交流讨论并汇报

生：S外方:S圆:S内方=4:π:2 （教师适当提示：外方内圆中，方与圆的面积比是4:π，外圆内方中，方与圆的面积比是2:π，这个组合图形中，圆是同一个圆，所以可以借助圆面积相同建立连比。二者结合S外方:S圆:S内方=4:π:2）

PPT出示题目，那这道题你能解决吗？

学生独立完成并汇报

（外方面积是4份，内方面积是2份，份数差2份，对应面积差10cm²，可求一份的面积是10÷2=5cm²）

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师：阴影是外方内圆的阴影还是外圆内方的阴影？

生：外圆内方（配合PPT的蓝色强调）

所以阴影面积对应外圆内方中的1.14份，可以求得

10÷（4-2）×1.14=5.7（cm²）

师：看来，有些问题用比的相关知识来解决也很简便。

五、小结

师：通过本节课学习你有什么收获？

学生畅所欲言，谈谈自己的收获（约3-4名学生）

师：大家的收获可真不少！本节课我们不仅认识了这两种组合图形的特征，还会运用不同的方法解决相关的面积问题。在解决较复杂的面积问题上，我们还可以运用转化的数学思想。同学们，方与圆的应用是广泛的，数学知识是美丽的，只要我们拥有一双善于观察的眼睛、勤于探索，就能发现更多的方圆智慧！

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