建立一元二次方程解决几何问题PPT及课堂实录内容

北师大版九年级上册第二章第6节

《应用一元二次方程》第一课时

宜黄二中 洪友平

尊敬的各位评委：

大家好！我是来自宜黄二中的洪友平，今天我说课的课题是北师大版九年级上册第二章第6节《应用一元二次方程》的第一课时。下面我将从以下六个方面对本节课的设计加以阐述：

一、教材分析

1、本节课的地位与作用

一元二次方程是初中数学的重要内容。它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。本节课是一元二次方程的应用中有关图形的问题，下一节课主要是销售与利润问题。

2、本节课的教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下目标：

①知识技能目标

：

建立方程解决问题的模型，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学方法。

②解决问题目标：

认识方程模型的重要性，学会运用方程解决实际问题，进一步提高分折问题、解决问题的能力，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，对所得到的解进行取舍。

③情感态度目标：

通过探究用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和人类发展作用。

3、本节课的教学重点与难点

本节课的教学重点是学会用列方程的方法解决有关图形的问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想；教学难点是将同类题对比探究，学会数学的分类讨论方法，对数学实际问题的变式迁移。

二、学情分析

整章从第一节开始就涉及到一些简单的应用题，所以学生现在已经有了一定的方程应用能力，再通过这节课让学生建立数学模型，同时兼顾不同层次的学生，让他们都有所提高和发展。

三、教法与学法

为了突出重点，突破难点，实现教学目标。教学过程中采用多媒体辅助教学，使抽像问题形像化，提高课堂效率。

教法：创设情境——引导探究——变式迁移——鼓励创新。

学法：自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新。

四、教学过程

我为这节课设计了以下五个教学环节。

(一) 创设情景，导入新课。

在这一环节中，根据课本设计“梯子下滑问题”引入新课。梯子下滑问题从本章第一节就已提出，贯穿整章，清楚地呈现了问题的发现、解决的完整过程。

通过这个情境，首先就让学生体会到利用勾股定理列一元二次方程解决实际问题的模型，学会对求出来的解是否符合实际进行判断。

在这过程中让学生先独立思考，然后和同学交流，最后一起总结出结果。同时制作运动变化的课件引导学生分析，形象直观，达到辅助教学的目的。

(二) 合作交流，探究应用。

A这个环节主要围绕书上52页的例1进行。 原题是：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C。小岛F位于BCD的中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速航行，一艘补给船同时从D出发，x沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补100给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给300-2xB船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

EFC

教学时增加一些帮助解题的问题：（此题是北师大版教材初中数学中少有的难题）

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）ABF路程是多少？ABE路程与DE有什么数量关系？ EF怎么表达？

（3）方程的等量关系是什么？

最后通过学生小组讨论，老师归纳得出本题解的过程和结果。

(三) 自编自创，提高自我。

本环节针对上题存在的不合理之处进行自编自创，提高解决实际问题能力。

这道题存在的问题是：假如你是船长，你怎么就知道相遇点在BC段呢？所以就让学生当一回船长，是不是先该考虑相遇点在AB段，接下来就要用到数学的重要方法：分类讨论。然后对所得的解进行分析与取舍。

（如下图：在AB段还得考虑AH和BH段两种情况，结果发现两种情况所得方程都无解，所以不可能。) A2xE'100-2xHAx100100DH2x-100E'100xDBFCBFC

对这道题再这样改：如右图，BC=200不变，AB改成400，A那么又能解出两个答案，而且都有意义，一个在H点，一个在HB之间。（此题更值得学生学习和领会）

D在学生解决了上面问题后，再提问：怎么确定补给船沿H南偏西多少度航行？

对于沿什么方向航行，这个问题只有等到九年级下册学EC完锐角三角函数才能解决，这也给了学生一些好奇和期待，BF使学生产生学习数学的兴趣。

(四)归纳总结，知识升华。

鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价，培养学生归纳和语言表达能力。使学生的知识更加完整和清晰，形成知识体系和数学模型。

（五）作业设计，延续拓展。

作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。

A 值得提的是书上53页问题解决第2题，值得深入探究和变式：

P 原题是：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°， AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？

变式探究：

C Q B 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6㎝，BC=8㎝，点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动。

C①如果点P、Q同时出发，点Q到达点C即停止，几秒后，△PBQ的面积为8平方㎝？

②如果点P、Q分别在射线AB和射线BC上运动，几秒后△PBQ面积为16平方㎝？

Q③在②的条件下，几秒后△PCQ面积为15平方㎝？

（②答案：0≤x≤4，4≤x≤6，x＞6）

BAP

还有书上54页第4题，原题是：如图，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是2 cm/s。几秒后P、Q两点相距25 cm？

我们还可以增加问题：几秒后，△PQB为等腰三角形。（结果是无解，但如果改变AC、BC的长度，或P、Q点的运动速度就有可能存在，可以给学生创新的空间。这也是初中数学中考命题的常用方法！）

CPAQBACPQB

五、板书设计

本节课没有相关的重要概念或知识点，所以主要应把两道例题的解题步骤板书清楚。勾股定理列方程解决实际问题的数学模型、分类讨论的数学方法、列方程解应用题的基本步骤也值得板书出来。

六、教学评价

在例题教学中，应关注列方程解应用题的三个重要环节：一是整体地、系统地弄懂题意；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性。

数学课程标准指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，而动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。本着这一理念，在本课的教学过程中，将数学知识始终与现实生活相结合，不断提高学生应用数学方法分析问题、解决问题的能力。

以上是我对本节课的设计说明，有不当之处敬请各位评委多批评指正！

2017-3-25