复习题国家获奖教案

《反比例函数的K的几何意义》教学设计

教学目标：赵秀丽

1.知识目标：了解反比例函数中“k”的值与相应矩形及三角形面积之间的关系。

2.能力目标：

逐步提高从函数图象中获取信息的能力，掌握反比例函数中比例系数“k”的几何意义，培养学生类比、转化及数形结合的数学思想方法。

3.情感目标：通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力，语言组织能力和分析问题及解决问题的能力。

学情分析：

反比例函数中k的几何意义,在解题中具有重要的意义。反比例函数与其他知识的综合运用,依旧离

不开反比例函数中k的几何意义。在知识基础方面，学生已经具备了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已掌握了反比例函数的概念。在方法上，学生已经积累的学习函数的方法，能画函数的图象，会观察图像并归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等。学生能用探究式的学习方式，通过自己的分析来体验知识间的内在联系。处在这个年龄段的学生多数可以熟练的进行抽象逻辑思维，但其辩证逻辑思维的能力水平还较低。另外，学生参与活动的积极性较高，但仍然缺乏合作交流等方面的能力。

教学重点、难点：

ky1．重点：理解并掌握反比例函数

（k≠0）中k的几何意义；并能利用它解决一些综合问题。

x2．难点：学会从图象上分析解决问题，能从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质及进行综合应用。

教学辅助：PPT、三角板

教学过程：

一、中考题呈现（PPT）

(2016陕西13题3分)已知一次函数y＝2x＋4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点.若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为

. 设计目的：学生通过读题思考，总结本题的考点，引出本

节课，出示学习目标及重难点。

二、知识重现

查漏补缺

思考；1. 反比例函数的k的几何意义是什么？

2.一次函数与反比例函数的综合题型解决办法是什

么？ 6想一想；如图，已知点P是反比例函数 y的

图象上任意一点，过P点分别向X轴、Y轴作垂线，垂足分别为E、F，那么四边形OEPF的面积是多少？△OEP的面积又是多少？ x 师提问：如果解析式中的k=-3呢？所形成的矩形及三角形的面积又是多少？学生计算后进一步归纳xk师板书：反比例函数

y



（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、yx11轴所围成的矩形面积

S



xy



，

, △OEP的面积S= ∣xy∣= ∣k∣

k22

问题设计的目的是让学生根据矩形的面积确定K值，学会逆向思考问题。如果以解答题的形式出现，学生不会写格式，需要老师规范书写格式，在格式上注意两点地方：

（1）设出反比例函数图像上的一点P（a,b），利用点的横坐标的绝对值表示边OE，点的纵坐标的绝对值表示边OF，这样矩形的面积就可以用点P横纵坐标乘积的绝对值来表示。

（2）设出反比例函数的解析式根据图像的位置确定好K的正负方便之后的取舍，将点P（a,b）代入所设的解析式建立K与ab的关系。

三、以题现知 夯实基础

题型（一） 面积不变

1．

k（k≠0）中k的几何意义。

总结反比例函数

y



S△ABC＝

_____

S△ABC＝

_____

S△ABM＝_____ S△APP′＝______

S矩形AENK与S矩形KMDB的关系

S△AOE与S四边形ECDB的关系

2.(2015陕西13题3分)如图1，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比

例函数y＝4的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为

.

x

图1

图2

图3 题型（二）确定解析式

1．如图2，A是反比例函数图象在第一象限内分支上的一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为

．

2. (2016陕西副题13题3分)如图3，在x轴上方，平行于x轴的直线与反比例函数y＝k1k和y＝2的xx图象分别交于A、B两点，连接OA、OB.若△AOB的面积为6，则k1－k2＝

.

以上变式题型的出现弥补学生在做题过程中的审题不细致的问题。

题型（三）矩形的变式训练

变式练习一：如下图4，点A、B是双曲线y3上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线x段，若s阴影1则s1s2

4

．

变式练习二：

如下图5，在反比例函数y2（x0）的图象上，有点P，P2，P13，P4，它们的横x坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1S2S3 1.5 ． y

y A S1

P1

B yP2

P3

3 2xP4

4 x S2O x O 1

2

图4

图5 巩固练习1：如图6，点A在双曲线上

y4k

，点B在双曲线

y

（

k≠0）

xx上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（

）

A．12

B．10

C．8

D．6

图6 图7 图8 2.

如图7，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于

．

题型（三）的训练旨在灵活运用矩形的面积与|K|的关系深刻理解K的几何意义，活动中让学生充分

的交流合作，组内展开讨论，老师给以指导。

题型（四）反比例函数与一次函数综合题 练习1

正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y＝x(k)(k≠0)的图象交于两点，其中一个交点的坐标为A(－2，1)，则另一个交点B的坐标是________．

练习2(2013陕西15题3分)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为

. 归纳总结：

正比例函数的图象与反比例函数的图象均关于原点对称，故它们的两个交点也关于原点成中心对称。

6的图象交于A(x1，y1)、B(x2，x 练习3如图8，直线y＝－2x＋4与双曲线

yk交于A、B两点，与x轴交于点C.若

xAB＝2BC，则k＝________．

方法总结如下：

反比例函数yk

与一次函数y＝ax＋b结合，解决与交点有关的问题时，常联立方程，得到

xkaxb

，转化为一元二次方程ax2＋bx－k＝0.①判断交点情况时，由一元二次方程根的判别式x得出结论；②求交点坐标时，解一元二次方程，即可得到交点的横坐标．

题型（四）的设计旨在灵活运用直角三角形的面积与|K|/2的关系,解决三角形面积问题。各种图形的变换考验学生的应变能力，在复杂问题中寻求实质问题是关键，能否对知识活学活用，最后总结出四种图形与|K|的关系。

四、拓展提升 提高能力

1.如图，点A是反比例函数y＝23(x>0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝的图象于点B，xx以AB为边作▱ABCD，其中点C、D在x轴上，则S▱ABCD为

.

图9 图10

2.

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函

数y＝－3的图象交于点C.若BA∶AC＝2∶1，则a的值为

x五、课堂小结 回视目标

1.过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若与原点相连,所构成的直角三角形的面积等于|k|/2. 2.数形结合是一种很好的数学思想!由特殊到一般是一种常用的解决问题的方法。

六、课后作业

1. 练习册P22-23 ，基础达标推荐；

2. P23名师推荐选作。

板书小结： 反比例函数

一、反比例函数K的几何意义 例1

例2

sAOBSAOCSB0C11k1k22211k1k2226k1k212

s矩OEPFk

二、反比例函数与一次函数结合

ykxbkkxb关于交点问题；

kxyx三、数学思想；转化、数形结合

设反比例函数的表达式为yk

x

kky2x6

xxy2x6

教学反思：

本节课，总的感觉有成功的地方，也有不足之处。我认为本堂课成功的做法有以下几方面：

1.本节课主要通过提出问题，让学生经历观察、思考、归纳等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生理解了反比例函数的比例系数K的几何意义。在新知探究过程中，给学生更多的思维空间，教师适时加以引导，让学生自己发现并纠正错误，从而加深了学生对问题的理解。

2．本节课的容量很大，在课堂教学中既要让学生进行充分的探究和讨论，又要按计划完成教学任务，这有一定的难度。因此在教学过程中教师引导学生沿着一个正确的猜想和讨论模式进行高效率的探究和讨论。

3.本节课教师适时引导他们寻找解决的问题的思路，并在解决问题的过程中总结获得的经验，而不是直接给出解决问题的方案。本节课从提出问题到解决问题的过程当中，提供了“阶梯”式的问题串，使学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历。

4. 习题设计合理，立足于思维训练。本节课每个知识点都设计了针对性的变式练习，通过练习，学生的解体技巧、方法、思维都得到了训练。

5. 利用数形结合思想往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了.从而在学习过程中激发学生学习数学的兴趣. 不足与改进：对学生的情感关注太少。本来想营造一种和谐的课堂气氛，学生因为紧张回答问题不积极，不敢大胆发表自己的观点，课堂气氛不够活跃，学生的激情不足。角色转换不彻底。在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、围绕学生提问的多，给学生提问的时间和机会很少．不能大胆放心把课堂交还给学生.

我的改进设想是：在上课过程中，要始终关注学生的情感。因为学生的学习是认知和情感的结合，只有给了他们情感上的极大满足，学生才会获得渴望成功的动力，学生的自主学习活动才能收到应有的效果多留时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性，这样能更大的激发学生的探索热情。