建立一元二次方程解决几何问题第二课时教学实录

22.3实际问题与一元二次方程

第1课时用一元二次方程解决传播、增降率问题

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.

2.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.

自学指导

阅读教材第45至46页，完成课前预习

知识探究

问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有（x+1）人患了流感；

②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有(x+1)(x+1)人患了流感. 则：列方程

(x+1)2=121，

解得x=10或x=-12(舍)，

即平均一个人传染了10个人.

再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？

问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.001)

绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.

相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.

分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元.

依题意，得5000(1-x)2=3000

解得：x1≈0.23，x2≈-1.77.

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为0.23.

②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，

列方程：6000(1-y)2=3600

解得：y1≈0.23，y2≈-1.77(舍).

答：两种药品成本的年平均下降率相同.

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？

活动1小组讨论

例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支

干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出x个小分支，则有1+x+x2=91

即x2+x-90=0

解得x1=9，x2=-10（舍去）

故每个支干长出9个小分支.

教师点拨：本例与传染问题的区别.

例2青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.

解：设年平均增长率为x，

则有7200(1+x)2=8460，

解得x1=0.08，x2=-2.08(舍).

即年平均增长率为8%. 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.

教师点拨：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解. 活动2跟踪训练

教材第48页第7题

活动3课堂小结

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:

(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；

(2)“列”，即根据题中等量关系列方程；

(3)“解”，即求出所列方程的根；

(4)“检验”，即验证是否符合题意；

(5)“答”，即回答题目中要解决的问题.

2.增长率=(实际数-基数)/基数.平均增长率公式：Q=a(1±x)2,其中a是增长(或降低)的基础量，x是平均增长(或降低)率，2是增长(或降低)的次数.

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.