总复习PPT及专用教学设计内容

《利用ab≥2ab求最值问题》基于课程标准的教学方案设计

【课题】 《利用ab2ab求最值问题》

【教材来源】义务教育教科书 北京师范大学出版社 2014年版

【内容】九年级数学上册（北师大版）

【授课对象】九年级学生

【设

计

者】白青霞/新郑市和庄镇初级中学

【目标确定的依据】

1.

基于课程标准的思考

《数学课程标准》有关本课的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。

2.基于教材理解

利用ab2ab求最值问题是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，为今后解决最值问题提供了新的方法，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。 3.基于学情分析

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

【学习目标】

1、通过ab2ab的证明过程，能在过程中分析不等式成立的条件. 2、

知道基本不等式成立的条件，并会求ab2ab类型的最值，初步认识

“=”成立的作用.

3、会运用ab2ab解决实际问题的最优化配置问题. 【学习重点】应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式

ab2ab

的证明过程；

【学习难点】用基本不等式求最大值和最小值

。

【评价任务】

1、借助小组讨论交流，能够归纳总结出不等式ab2ab

的证明过程；

2、用应用数形结合的思想认识ab2ab，并能用ab2ab求最值。

【学习资源准备】

多媒体课件、班班通资源

【教学环节】

一、

创设问题情境，导入新课

1.有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a、b的不等式表示为

2．由图形得出的结论只是一个猜想，你能证明你的猜想吗？总结上面结论并证明。

证明：（作差法）

因为 a2b22ab(ab)20

所以

ab2ab.

当且仅当ab时，等号成立

22（设计意图：利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab，引导学生22体会如何从实验中发现问题，培养学生数形结合的思想方法,）

二、类比、观察，探索新知

（一）自疑自探：

如果a>0,b>0,我们用a、b分别代替不等式ab2ab.中的a,b能得到什么结论？请同学们以小组为单位展开讨论，讨论结束后，请各小组派出代表展示方案。

了解基本不等式的代数证明（学生完成填空）

对于任意正实数a、b，∵(ab)2≥0，∴a2abb≥0，∴ab

2ab，只有当

时，等号成立．结论：在ab≥2ab（22a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则ab≥2p，只有当ab时，ab有最

值2p．

替换后得到：ab2ab，

通常把上式写作：abab(a>0,b>0)

2类比前面的证明方法，学生用作差法口述证明基本不等式；通过证明过程发现基本不等式成立的条件，此处采用了换元法，也为后面利用基本不等式求最值奠定基础.

（板书）

abab(a0，b0)

2当且仅当a=b时，等号成立。

（二）学组研讨、展示交流：

刚才从代数角度证明了基本不等式的成立，从几何图形上能否证明它成立呢？探究基本不等式的几何解释

小明在研究垂直于弦的性质过程中（如图

，直径AB垂直于弦CD于点E），设AE=a ，BE=b，他用含a，b的式子表示图中的弦CD的长度

，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系

，发现了一个关于正数a，b的不等式

，你能发现这个不等式么？写出你发现的不等式：

问题1：你能从图形中得出DC和AB一半的大小关系吗？(

DC问题2：你能用a、b表示线段CE，DC吗？

（设计意图：发展和构建几何图形中的相等或不等关系，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点）

（三）想一想

1、某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b，都有ab≥2ab成立．某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备xcm．则x的值是（

）

A．1202

B．602

C．120

D．60 2、如图已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若S△AOD=4，S△COB=9，则四边形ABCD的面积的最小值为

(设计意图：根据学生的接受能力，我安排了两道简单例题，让学生会初步应用基本不等式，引导学生观察例题的条件和所求，从而体会基本不等式的数ABab

) 22

学本质：两个正实数的和与乘积的不等关系。)

（四）展示提升

阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(ab)2≥0，∴a2abb≥0，∴ab≥2ab，只有当ab时，等号成立．

结论：在ab≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值C

p，则ab≥2p，只有当ab时，ab有最小值2p．

根据上述内容，回答下列问题：

1若m0，只有当m＝

时，m有最小值

．

mA

O

图1 D

B

思考验证：如图1，AB为半圆O的直径，

C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CDAB，垂足为D，ADa，

DBb．试根据图形验证ab≥2ab，并指出等号成立时的条件．

探索应用：如图2，已知A(－3，0)，

B(0，－4)，P为双曲线y12（x＞0）上的任意一点，过点P作PCx轴于点C，

PDyx图2 轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

实践应用

建筑一个容积为800m3，深为8m的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为80元，池底每平方米造价为120元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？

（设计意图：关注学生从实际背景中抽象数学知识的能力，通过学生的回答情况适度加以引导，做出评价；从而激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。引导学生尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学运用所学数学知识优化生活中的一些问题的思想.）

（五）同类演练

阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．

对于任意正实数a、b，∵(ab)2≥0，∴a2abb≥0，∴ab≥2ab，只有当ab时，等号成立．

结论：在ab≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则ab≥2p，只有当ab时，ab有最小值2p．

（1）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证ab≥2ab成立，并指出等号成立时的条件．

（2）探索应用：如图2，已知A为反比例函数y=4

的图象上一点，A点的横坐标为1，x将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值

（设计意图：通过学生的自主分析，并在操作过程中进行思考，让学生自己发现问题，并能用自己的语言描述发现的结论。并让学生充分地参与到教学过程中，激发学生学习数学的积极性和求知欲。）

三、反馈总结：

这节课，大家的学习都非常投入，老师相信你们的收获肯定也很多，那么谁能来谈谈自

己本节课的收获呢？

（设计意图：学生自己总结收获的过程中，再一次回顾了本节课的主要内容，既加深了他们对本节课重点和难点的理解，又培养了他们概括归纳知识的能力。）

四、课堂检测：

某校拟建一个面积为100m2的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案.下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整. （1）列式

设矩形的一边长是xm，

则另一边长是

m，若周长为ym，则y与x之间的函数关系式为

；

（2）画图

①列表：

x …

y …

4 58 6 4510 40 13 4116 4420 a 25 58 30 66…

…

1

35

131

22

3表中a=

. ②描点：如图所示；

③连线：请在图中画出该函数的图象. （3）发现

图象最低点的坐标为

，即当x= m时，周长y有最小值40m；

（4）验证

在张老师的指导下，同学们将y与x之间的函数关系式进行配方，得出y=2(x-102)+40. x∵2(x-102

)≥0，

∴y≥

. x102 )=0时，y有最小值. x∴当2(x-此方程可化为(x)2-10=0.

∴当x=

m时，周长y有最小值40m. （设计意图：采用1道简单的求最值的问题，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况，既加深了他们对本节课重点和难点的理解，又培养了他们概括归纳知识的能力。）

五、延伸迁移

1.已知a>0，b>0，且a·b＝2，则当a＝b＝______时，a＋b有最小值______. 2.已知a>0，b≥0，且a＋b＝2.则当a＝b＝______时，a·b有最大值_______. 13.若a>0，则a＋a有最________值2，此时a＝________.

4.若0

6.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

（设计意图：延伸迁移为学有余力的学生准备，同时也为下一节的学习做好铺垫，也达到分层教学的目的。）

【板书设计】