阅读与思考 费尔马大定理公开课教案（教学设计）

17．2 勾股定理的逆定理

教学目标

1．理解勾股定理逆定理的具体内容及原命题、逆命题、勾股数的概念．

2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形．

3．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力．

新课讲解

一、互逆命题

定义：一般地，如果两个命题的题设和结论恰好相反，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

例1：写出下列命题的逆命题，并判断真假。

（1）内错角相等，两直线平行；（2）若a2＞0，那么a＞0. 思考：原命题与逆命题的真假性有关系吗？

练1：写出下列命题的逆命题，并判断真假。

（1）如果ab，那么a=b；

（2）如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，斜边长为c,那么a2b2c2

思考：上述第（2）问是否正确？如何证明？

命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形. 例：已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2b2c2

求证：∠C=90°

思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，

利用对应角相等来证明．

结论：命题2正确。我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。它是判断直角三角形的一个依据。这两个定理互为逆定理。

例2：下列定理中，没有逆定理的是（ ）

A.

等腰三角形的两个底角相等 B.对应角相等

B.

三边对应相等的两个三角形全等 D.直角三角形的两个锐角和等于90°

归纳：解决这类问题时，先分别写出各个定理的逆定理，根据命题的真假来判断是否是逆定理。

练习：课本33页练习2，34页复习巩固2.（1）（3）

例3 (教材P32例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．

(1)a＝15，b＝8，c＝17；

(2)a＝13，b＝14，c＝15. 【解答】(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，

所以152＋82＝172，根据勾股定理逆定理，这个三角形是直角三角形．

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(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，

所以132＋142≠152，根据勾股定理逆定理，这个三角形不是直角三角形．

【点拨】根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是大角，即大边对的角是直角．

练习：33页练习1；34页复习巩固1.（1）（3）

练习2：如图，D是BC边上的一点，若AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的长．

解：∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，

∴△ABD是直角三角形．

∴AD⊥BC. 在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝15，

∴BC＝BD＋CD＝6＋15＝21. 巩固训练

1．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是(C) A．5，6，7

B．10，8，4 C．7，25，24

D．9，17，15 2．下列各命题的逆命题成立的是(B) A．对顶角相等

B．两直线平行，同位角相等

C．若a＝b，则|a|＝|b| D．全等三角形的对应角相等

3．如图，正方形网格中有△ABC，若小正方形的面积为1，则△ABC的形状为(A)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

课堂小结

1．什么是勾股定理的逆定理？如何表述？

2．什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？

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