2.3.3 双曲线的参数方程教案教学设计导入整理

2.3.3双曲线的参数方程

教学目标：1.了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义；

2.掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 教学重点：双曲线参数方程的应用，

教学难点：双曲线参数方程中参数的意义. 教学过程：

一、复习回顾：

1.写出圆的参数方程：

（1）写出圆心为原点，半径为r的圆的参数方程. 答： （为参数）. （2）写出圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程. 答： （为参数）. 2x2y1a0,b0,ab2.写出椭圆2（）的参数方程. ab2答： （为参数）. 3.问题：上述参数方程中的参数的几何意义是什么. x2y24.类比椭圆，能否写出双曲线221(a0,b0)的参数方程. ab二、新知探究：

（一）新知：

1.如图，以原点O为圆心，分别以a，b（a0,b0）为半径作两个同心圆C1、C2.设A为圆C1上的任意一点，作直线OA，过点A作C1的切线AA与x轴交于A，过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线AB'OBMA'xyBB与直线OA交于点B，B分别作x轴、y轴的垂线AM、过点A、BM交于点M.设Ox轴为始边，OA为终边的角为点，点M的坐标为（x,y），求点M的轨迹方程. 【分析】点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系. 【解析】由已知xOA，M(x,y)，则A(x,0)，B(b,y)，

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因为A(acos, a sin)

所以OA(acos,asin),AA(xacos,asin)

因为OAAA，所以OAAA0，

即acos(xacos)a2sin20，x由三角函数的定义得，tanaasec，

cosy，ybtan，所以点M的轨迹方程为

bxasec3[0,2)（为参数）（，且）. ,ybtan22x2y2化为普通方程是221. aby2x22.双曲线221的参数方程为：abxbtan（为参数）（[0,2)，且yasec2,3）. 2xasecx2y233.双曲线221的参数方程：（为参数）（[0,2)，且,）ab22ybtan中，称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义. x2y24.双曲线221上任意点M的坐标可设为(asec,tan). ab（二）典型例题

y2x21的参数方程形式. 【例1】(1)写出双曲线4xtan【解析】根据双曲线参数方程的公式得：(为参数) y2secx3sec(2)双曲线(为参数)，写出该双曲线的渐近线方程. y2tanx3secx2y21

【解析】双曲线(为参数)的普通方程为：94y2tan2则它的渐近线方程为yx 3(3)设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1,F2为两个焦点，证明F1PF2POP. 2

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xsec【证明】等轴双曲线x2y21的参数方程为(为参数)，设P(sec,tan)，

ytan因为F1(2,0)，F2(2,0)，所以|F1P|(sec2)2tan22sec222sec1 |F2P|(sec+2)2tan22sec2+22sec1，

所以F1PF2P2sec222sec12sec2+22sec1=|2sec1||2sec1|

=|2sec21| 又因为|OP|2sec2tan22sec21

，所以F1PF2POP

y2x2【例2】设M为双曲线221（a0,b0）上的任意一点，O为坐标原点，过点Mab2作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A,B两点，探究平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？

三、课堂小结：

y2x21.双曲线221的参数方程为：abxbtan（为参数）（[0,2)，且yasec2,3）. 2xasecx2y232.双曲线221的参数方程：（为参数）（[0,2)，且,）abybtan22中，称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义. x2y23.双曲线221上任意点M的坐标可设为(asec,tan). ab四、反馈练习：

x2tan1.双曲线为参数的离心率是 （ ）

y4sec A．3 B．2 C．5 D．2

222.求点P(0,1)到双曲线x2y21最小距离.

3.已知等轴双曲线x2y22a2上任意一点P，求证:点P到两渐近线的距离之积为常数.

五、学后反思：

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教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，

会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为P(sec,tan)，在使用过程中，要知道恒等式sec2tan21.

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