1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系PPT及课堂实录内容

工欲善其事必先利其器（一）

沈阳市第四十中学

韩宇

一、源问题

（2017新课标I卷（理），10）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）

A.16 B.14 C.12 D.10 解法一：

解法二：

解法三：

解法四：

因为抛物线C的方程为y2=4x，所以焦点F(1,0) x1t设直线l1的参数方程为t为参数

ykt与抛物线方程联立消去x,y得k2t2-4t-4=0 设点A(x1,y1)，B(x2,y2) 1由根与系数的关系得AB412

k因为直线l1，l2互相垂直，所以直线l2的斜率为同理|DE|=4(1+k2) 1

k11所以ABDE41241k2842k216

kk二、问题类型

1.共线距离

（1）过原点

例：（2016全国I卷（文），21）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（I）求如图建立极坐标系

则抛物线C:ρsin2θ=2pcosθ

直线l:ρsinθ=t p射线ON:arctan

tOHON.

sin22pcosarctanptsintOHHx（2）过（非原）定点

2pcost,ONNsin2sin

OH2p2ptcot2ONttp

x2y223例：已知椭圆C：221(a>b>0)的离心率为，且点2,在C上. 22ab（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l经过点P(1,0)，且与椭圆C有两个交点A、B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0>2），使得A、PAdAB到l0的距离dA、dB满足恒成立？若存在，求x0的值；若不存在，请说明理由. dBPB

（2）当直线l斜率不存在时，x0可以为任意值；

当直线l斜率存在时，设直线的参数方程为x1tt为参数

ykt则xA=1+tA,xB=1+tB，即dA=x0-xA=x0-(1+tA),dB=x0-xB=x0-(1+tB) 24124k1x1t222点A，B满足：ykt，所以tA，tB满足(4k+1)t+2t-3=0，即tAtB2

4k1x223y1ttAB44k21由2ttdAx01tAPAtA整理得x0AB14

tAtBdBx01tBPBtB综上，x0=4时符合题意

2.曲线上独点

例1：（2017新课标III卷（理），12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若APABAD，则λ+μ的最大值为（ ）

A.3 B.22 C.5 D.2 如图，建立平面直角坐标系. 设A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1) 易得直线BD:x-2y=0，圆C的方程是x2y222cos,sin25524

5又AB0,1,AD2,0，则APABAD2,

圆与直线BD相切，则半径r2

5P点坐标可表示为x=2+rcosθ，y=rsinθ

rr2则cosrsin2r2cos2

24r2当cos(θ+ϕ)=1时，有最大值，为r223

4

x2例2：若点O和点F(-2,0)分别是双曲线2y21a0的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意a一点，求OPFP的取值范围. 因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3 x2所以双曲线方程为y21

3设点P3sec,tansec1，则有OP3sec,tan,FP3sec2,tan

所以OPFP3sec3sec2tan24sec223sec1323

3.旋转

（1）绕原点

1，所得曲线记作C；将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转290°所得直线记作l.（1）求直线l与曲线C的方程.

3cos2sin80



3cos2sin8022

（2）绕非原点

将圆x2+y2=4上各点的纵坐标压缩至原来的x例：（2016辽宁抚顺一模，15）已知向量e1，e2是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，向量OA=e1+e2，OB=5e1+3e2，将有向线段AB绕点A旋转到AC位置，使得ABAC，则OBOC的值是 . 如图，建立平面直角坐标系. 设B125cos,125sin

则C125cos,125sin

22由题得cos425,sin225

所以C(-1,5)C(3,-3) 所以OBOC6或10