2.2.2 圆的参数方程教学创新设计

2．圆的参数方程

学习目标：

1、理解圆的参数方程的形式和特点。(重点）

2、运用圆的参数方程解决最值。（难点）

圆的参数方程

(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原x＝rcosωt的圆的参数方程为y＝rsinωtxryr点O，半径为r

(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．

(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为x＝rcos θy＝rsin θ

(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．

x＝x0＋Rcos θ(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为y＝y0＋Rsin θ

(0≤θ＜2π)．

[对应学生用书P17]

[例1] 圆(x－r)＋y＝r(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．

222求圆的参数方程

1

[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解．

[解] 如图所示，

设圆心为O′，连O′M，∵O′为圆心，

∴∠MO′x＝2φ. x＝r＋rcos 2φ，∴y＝rsin 2φ.

(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成x＝r＋rcos φ，y＝rsin φ.

(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．

1．已知圆的方程为x＋y＝2x，写出它的参数方程．

解：x＋y＝2x的标准方程为(x－1)＋y＝1，

设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则

x＝1＋cos θ，参数方程为y＝sin θ222222

(0≤θ＜2π)．

x＝cos θ2．已知点P(2,0)，点Q是圆y＝sin θ

上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：设中点M(x，y)．则

2

2＋cos θx＝，20＋sin θy＝2，

1x＝1＋cos θ，2即1y＝2sin θ，

(θ为参数) 这就是所求的轨迹方程．

1它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆. 2

[例2] 若x，y满足(x－1)＋(y＋2)＝4，求2x＋y的最值．

[思路点拨] (x－1)＋(y＋2)＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．

[解] 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有

2222圆的参数方程的应用

x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，

故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)．

∴－25≤2x＋y≤25. 即2x＋y的最大值为25，最小值为－25.

圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．

x＝cos θ，3．已知圆Cy＝－1＋sin θx＝cos θ，解：法一：∵y＝－1＋sin θ

与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．

消去θ，

得x＋(y＋1)＝1. ∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1. 22

3

|0－1＋a|∴圆心到直线的距离d＝≤1.

2解得1－2≤a≤1＋2. 法二：将圆C的方程代入直线方程，得

cos θ－1＋sin θ＋a＝0，

π即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋)．

4π∵－1≤sin(θ＋)≤1，∴1－2≤a≤1＋2. 4

[对应学生用书P19]

一、选择题

x＝2＋2cos θ，1．圆的参数方程为：y＝2sin θ

2(θ为参数)．则圆的圆心坐标为(

) A．(0,2)

C．(－2,0) x＝2＋2cos θ，解析：将y＝2sin θB．(0，－2) D．(2,0)

化为(x－2)＋y＝4，其圆心坐标为(2,0)．

2答案：D x＝2cos θ，2．直线：x＋y＝1与曲线y＝2sin θ

(θ为参数)的公共点有(

) A．0个 C．2个 解析：将1x＝2cos θ，y＝2sin θB．1个

D．3个

化为x＋y＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由22于2＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．

22答案：C 3．直线：3x－4y－9＝0与圆：x＝2cos θy＝2sin θ

，(θ为参数)的位置关系是(

)

4

A．相切 C．直线过圆心 B．相离

D．相交但直线不过圆心

9解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<2，5故选D. 答案：D 4．P(x，y)是曲线的最大值为(

) A．36 C．26 B．6 D．25 x＝2＋cos α，y＝sin α

(α为参数)上任意一点，则(x－5)＋(y＋4)22解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：

(2＋cos α－5)＋(sin α＋4)

＝25＋sinα＋cosα－6cos α＋8sin α

＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题

5．x＝1与圆x＋y＝4的交点坐标是________．

x＝2cos θ，解析：圆x＋y＝4的参数方程为y＝2sin θ，22222222

13令2cos θ＝1得cos θ＝，∴sin θ＝±. 22∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．

答案：(1，3)；(1，－3) 6．参数方程22x＝3cos φ＋4sin φ，y＝4cos φ－3sin φ2

表示的图形是________．

2解析：x＋y＝(3cos φ＋4sin φ)＋(4cos φ－3sin φ)＝25.∴表示圆．

答案：圆

7．设Q(x1，y1)是单位圆x＋y＝1上一个动点，则动点P(x1－y1，x1y1)的轨迹方程是________．

解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．

2222

5

x＝x1－y1＝cos 2θ，则1y＝x1y1＝sin 2θ.2x＝cos 2θ答案：1y＝sin 2θ2三、解答题

22

x＝cos 2θ，即1y＝sin 2θ，2

为所求．

8．P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点

①画图并写出⊙O的参数方程；

②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．

解：①如图所示，

x＝2cos θ，⊙O的参数方程y＝2sin θ.

②设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，

因Q(6,0)，

6＋2cos θx＝，2∴M的参数方程为2sin θy＝，2即x＝3＋cos θ，y＝sin θ.

9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建π立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，. 2

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)＋y＝1(0≤y≤1)．

x＝1＋cos t，可得C的参数方程为y＝sin t22

(t为参数，0≤t≤π)．

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C

6

π在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝. 3ππ33故D的直角坐标为1＋cos，sin，即，. 3322x＝1＋tcos α，10．已知直线C1：y＝tsin α

x＝cos θ，(t为参数)，圆C2：y＝sin θ

(θ为参数)．

π(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；

3(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

π解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，

3C2的普通方程为x2＋y2＝1. 联立方程组y＝3x－x2＋y2＝1，，

31解得C1与C2的交点为(1,0)，，－. 22(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0. A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为

1x＝sinα，21y＝－2sin αcos α，2

1(α为参数)．

P点轨迹的普通方程为x－2＋y2＝. 411611故P点轨迹是圆心为，0，半径为的圆．

44

7