6. 匀变速直线运动位移与时间的关系优秀公开课教案

普通高中课程标准实验教科书（教科版）

物理必修1

绵阳市南山中学实验学校

周林

1.6 匀变速直线运动位移与时间的关系

一、教学目标：

（1）知识与能力目标

1.了解具有化曲为直、化变为匀功能的微元法在物理学中的应用，理解ｖ-ｔ图线与时间轴所围面积表示物体在这段时间内运动的位移。。

2. 初步掌握匀变速直线运动的位移规律，并能运用该公式解决实际问题。

3.能画出匀速直线运动与匀变速直线运动的位移-时间图像，并了解其物理意义。

（2）过程与方法

1. 通过对ｖ-ｔ图象中面积意义的探究，使学生接受一种研究物理问题的科学方法——微分法，逐步渗透极限的思想，为以后的学习奠定基础。

2. 通过v-t图象推出位移公式，培养学生运用数学图象解决物理问题的能力。

（3）情感态度与价值观

通过微分法推导位移公式，逐步培养学生的逻辑思维能力和公式推导能力，形成严谨科学态度。

二、教学重点：

1.匀变速直线运动位移规律的灵活应用，如交通安全问题。

2.v-t,x-t图的区别。

三、教学难点：

1. 理解ｖ-ｔ图线与时间轴所围面积的物理意义

2. v-t,x-t图的区别

四、教学用具：

比萨或派一半的组有，棒棒糖，彩纸每组一张，一半大圆一半小圆（圆的一半染色），面块粗面条细面条

五、教学课时：2课时

六、教学过程：

新课引入：

大家肚子有没有一点点的饿？看这是什么吃的？

派（可能学生不知道）

那这个你们认识吗？

比萨

其实它们都是面粉和水果或者蔬菜或者肉做的，馅儿在表面叫比萨，馅在里面叫“派”，商家通过转化思想引诱顾客。

可能有同学在想，老师你这一个吃的我们怎么分啊？

要想得到好吃的，请大家遵守这节课的规则，同学们每4个人为一组，座位上是1的为第一组，2的是第二组，以此类推，135在你们的左手面，246组在右手面，在这节课中同学们的优秀表现为自己组获得棒棒糖，最后棒棒糖多的三个组可以换成好吃的，明白了吗？

明白了，我们开始一次PK “切派”游戏

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1、每组按要求将“派”等分

每组同学桌子上有一个派，请每组按要求将“派”等分1、2组同学将各自的派4等分，3、4组将派8等分，5、6组将派16等分，请大家摸出你们的饭卡，它将转化为刀切派，都准备好了吗？分的又快又好的组，举手示意我，我们取前三名颁发棒棒糖，听懂了吗？（1,3，5组小圆，246组大圆）

游戏开始

学生切割（找1.6组对比）

这是1组同学四分之一的结果，取出其中一块，

这是6组同学四分之一的结果，取出其中一块，哪一块派大？

通过比较什么可以判断出来？面积

什么面？扇形面积公式是什么？怎么来的？

圆的面积怎么得来的？

什么图形最简单？方形（学生可能回答圆，再提问：除了圆还有什么简单？直线曲线谁简单）

古代三大几何难题其中之一，便是化圆为方

你们有什么办法化园为方吗？请讨论，想好的请举手示意我

把一个圆平均分，然后将其拼成近似的长方形，最后根据长方形与圆的关系推导出圆的面积公式。（恭喜你们解决了古代三大几何难题之一）

2、求“派”的面积

请每个组同学们再次合作，将刚才切出的小块派按黑板上的拼接方式在彩纸上拼为长方形，做完的同学请举手示意我，同样先完成的三个组可以获得棒棒糖，准备好了吗？（观察学生贴的结果，好的请每组一个同学拿着展示）

请看得清的同学们看黑板上246组同学的结果，看不清的也可以看我课前贴的（展示ppt，这是四分之一拼出的结果，这是8分之一拼出的结果，这是16分之一拼出的结果）对比，你们有什么发现？（可借助尺子比给学生对比看）

分的段数越多，每一段越接近直线，这一步我们在化曲为直，将圆周长2r转化为长方形的两条长边分别为r，将半径转化为长方形的宽为r，将圆的面积转化为长方形的面积长乘以宽即面积r。

游戏体现哪些思想？

化曲为直，化圆为方的转化思想，即用简单模型来研究复杂问题

无限分割，再叠加的微积分思想。

我们带着这些思想方法学习今天的内容匀变速直线运动位移与时间的关系

先回忆

问题：匀速直线运动的位移公式是什么？

X=vt 问题：求匀速直线运动的位移其它办法？

图像的面积

什么图像

v-t图像与t 轴在t时间内围成的图形的面积

问题：面积是位移吗？(我们能通过面积表示位移，能不能说面积就是位移？) 2不能。面积是标量，单位是m，位移是矢量，单位是m。

一、匀速直线运动的位移

匀速直线运动的特征是速度恒定不变，位移和时间的关系为x=vt v-t图像与t 轴在t时间内围成的图形的面积表示匀速直线运动的位移大小

二、匀变速直线运动

问题：匀变速直线运动速度时间关系式是什么？

2vv0at

问题：画出此式对应的匀加速直线运动的速度时间图像

匀变速直线运动的位移怎么求？

匀变速直线运动的位移是否也对应v-t图线与t 轴所围成的面积？

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问题：怎样研究变速运动？或怎样研究变速运动的位移？

想想刚才学习的思想方法用简单模型来研究复杂问题，

把复杂的匀变速直线运动转化为什么最简单？

转化：化变为不变

怎么转化？

在很短时间（⊿t）内，将变速直线运动近似为匀速直线运动，利用 x=vt 计算每一段的位移，各段位移之和即为变速运动的位移。

我们举例来看看这种方法

2一个物体以10m/s的速度做匀加速直线运动,加速度为2m/s，求经过4s运动的位移。

问题：我们怎样能求出位移？

探究思路：将运动分成时间相等（⊿t）的若干段，在⊿t内，将物体视为匀速直线运动，每段位移之和即总位移。

比如 探究：将运动分成时间相等的两段，

即⊿t=2秒。

2s末，4s末速度根据匀变速直线运动的公式分别为多少？

时刻（ s）

0 2 4 速度（m/s）

10 14 18

请大家用描点作图法画出这个情景的v-t图像

它们画的怎么样？非常完美吗？

坐标轴标箭头，有数据坐标轴必须带单位，标出坐标原点，时间不能画在负半轴。

问题：在⊿t=2s内，视为匀速直线运动。运动速度取多大？

可以取⊿t=2s内的初速度或末速度，也可取中间任一点的速度

统一取初速度为匀速运动速度

探究1：将运动分成等时两段，即⊿t=2秒内为匀速运动。

求出位移

xxx(102142)m48m

探究2：将运动分成等时间的四段，即⊿t=1秒内为匀速运动。

时刻（ s）

0 1 2 3 4

速度（m/s）

10 12 14 16 18

x

xxxx

(101121141161)m52m

探究3：将运动分成等时的八段，即⊿t=0.5秒内为匀速运动。

121234时刻（ s）

0 速度（m/s）

10 120.5 11 31 12 1.5 13 2 14 2.5 15 3 16 3.5 17 4 18

xxxx (100.5110.5120.5)m

54m

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问题：运算结果比实际值偏大还是偏小？为什么？

三次运算结果都比实际值偏小，都留有一段空白，因为我们取初速度为匀速直线运动的速度。如果我们取末速度为匀速直线运动的速度，运算结果都比实际值偏大。这是三次运算的相同点。

问题：运算结果与前两次有何不同？

依然偏小，但更接近真实值。

为了提高估算的精确度，时间间隔小些好还是大些好？为什么？

时间间隔小一些好，因为时间间隔越小瞬时速度就越接近平均速度，估算的位移就越接近实际位移，估算的精确度就越高。（你们同意她的说法吗？同意的掌声通过）

将时间t分无限细分情况又怎样？

估算位移与实际无限逼近，我们就可以用估算的结果代替实际位移了。

接下来同学们通过活动感受下无限分割无限逼近，彩纸上有同学们画好的v-t图，请12组同学利用桌子上的面块看成分割的长方形面积贴在v-t图上，请34组同学利用桌子上的较粗的面条看成分割的长方形贴在v-t图上，请56组同学利用桌子上的细面条看成分割的长方形贴在v-t图上，完成的同学请举手示意。请先完成并且完成好的上台展示。由于细面条要贴好，很好时间，ppt展示我自己粘贴的，同学们对比下，发现什么？

面条足够细时，所有细面条的面积之和无限逼近v-t图与t轴围城的面积。

根据上述的研究，匀变速直线运动的物体在时间t内的位移与υ－t图象有什么关系？

匀变速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应v-t图线与时间轴所围成的面积。

求出梯形的面积即表示匀变速直线运动的位移。

讲到这里想起两句话送给同学们:机会是给有准备的人。上帝为你关了一扇窗，一定会为你开启另一扇窗。56组的同学在很多游戏活动中任务都要困难些，看似我不公平，但只要坚持，为机会做好准备，真理掌握在你们手里。

结论：匀加速直线运动的物体在时间t内的位移大小等于v-t图线与时间轴所围成的面积。

请同学们根据上述的研究，从v-t图象中，推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式：

vv梯形“面积”=位移 x0tt2问题：这个式子能表示位移与时间的关系吗？为什么？

位移与时间的关系是指时间是变量，位移随时间变化，除了这两个量，其它都不能变。

从v-t图象中，推导出匀变速直线运动的位移规律。

vvt

x0t21xv0tat2

2Vt = v0+ at 从函数关系上看，位移与时间是二次函数的关系

1.适用条件：匀变速直线运动 2.注意：x、v0、a都是矢量，一般选v0的方向为正方向. 3．特殊: (1)v0＝0时，x＝at/2 由静止开始的匀加速直线运动，x与t成正比． (2)a＝0时，x＝v0t，匀速直线运动的位移公式． 某质点的位移随时间的变化关系是x＝(4t＋4t) m，则质点的初速度是v0＝__ m/s，加速度2a＝__ m/s，2 s内的位移为___ m，第2s内的位移为___ m. 方法一：代数法

方法二:图像法

画出此质点运动的v-t图，运用图像法求最后两空

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答案

4 8 24 课堂小结：

作业布置：

1.

完成活动:感受无限分割无限逼近

2.请归纳总结哪些物理量像V和t一样彼此间有关系，相乘是第三个物理量。

3.生活中哪些现象可以看成微积分的思想？

最后，我想用一段话结束本节课：科学是求真，诗情画意是求善求美。如果将近14亿人的中国看成是一个派，我们每一个人就是无限分割的一小块派。如果我们每一个人都求真求善求美，中国将从人力大国转化为人力强国，不，是人才强国，实现中国梦！谢谢大家。

教学反思：

1.这一节的上课即习题课安排：第一节课只讲位移时间关系式，转化思想，微积分思想，公式法，图像法，比较法；第二节课v-t、x-t对比；第三节课中间时刻速度和位移差公式；第四节课位移和速度关系及知三求二公式的灵活应用及比值法

2.这节课好的方面：第一，整堂课设计前后照应，将微积分思想融于情感态度价值观；第二，运用“最近发展区”将分割叠加提炼成微积分思想，并通过切派拼贴感受古人的思想，通过贴面条感受无限分割无限逼近；第三，学生积极参与，感受物理思想美。

3.这节课需要改进的：第一，由于器材缺乏，无法用计算机得出二次函数关系，整节课都是理论推导和感受而已，没有实验验证；第二，学生总结思想环节，学生提到建模的思想，由于备课时，匀变速直线运动是上一节提出的模型，所以没有作为这节课的重点思想方法强调，因此学生回答出这个思想时，我处理不当，应该表扬学生看到了物理模型的重要性。

板书设计：

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一、匀速直线位移

二、匀变速直线

三、思想方法

备课资料：

百度“派”即“π”

Pie (中文：馅饼）的陷料在饼皮内，陷料通常都是以水果为主，例如苹果派，凤梨派（菠萝派），蓝莓派等。馅饼在西方文化里是一种甜点。几乎每一个西方文化都有类似馅饼的甜点。

Pizza （中文：比萨）是一种陷料在饼皮中间的食物。来自意大利。陷料通常都是一蔬菜和肉类为主。很多时候，比萨都会加上乳酪好添加风味。比萨在大部分西方国家，尤其是美国和意大利，都是正餐中（晚餐或午饭）的主餐。

2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。

[14]

国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日，旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈(22/7，π的近似值之一)的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都举办庆祝活动。

我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。

古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。

古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。

圆面积公式的常规推导思路是:先把一个圆平均分成若干份，然后将其拼成近似的长方形，最后根据长方形与圆的关系推导出圆的面积公式。当时人们认为既然正方形的面积容易求，只需要想办法做出一个面积恰好等于圆面积的正方形。但是怎样才能做出这样的正方形又成为了另外一个难题。古代三大几何难题其中之一，便是化圆为方。这个起源于古希腊的几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。

[1]

开普勒的求解方法

16世纪的德国天文学家开普勒，当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。

开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有

。这就是我们所熟悉的圆面积公式。

开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。

开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果第

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客观存在的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。

卡瓦利里的求解方法

卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。

卡瓦利里认为，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的。要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这个问题，使卡瓦利里陷入了沉思。

一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他灵机一动：布可以看成面积！布由棉线织成，要是把布拆开，拆到棉线就停止了。我们要是把面积像布一样拆开，应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。

卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。

1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。

卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理”。事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖暅。比卡瓦利里早1000多年，所以我们叫它“祖暅原理”。

新增求解方法

在卡瓦利里的观点上拓展，也可以将曲线看做不可分量。所以圆面积近似于无数个圆周长曲线的拼接，这些圆的半径是从0到r的连续点，可以看作长度为r的直线，这些圆的半径之和可以看作直角边长为r的直角等边三角形，故可得公式：

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