*5 一元二次方程的根与系数的关系优秀教学设计

第二章

一元二次方程

5．一元二次方程的根与系数的关系

一、学情分析

学生学习了一元二次方程的解法后，理解并掌握了方程的解法，特别是公式法，本节的学习是以公式法为基础的，学生的学习能容易接受。在教学时，应出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使学生掌握一元二次方程根与系数的关系。

二、教学目标：

1、理解掌握一元二次方程ax+bx+c=0

(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

2三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾

内容：

1、一元二次方程的一般形式？

ax+bx+c=0

(a≠0)（板书） 2

1

2、一元二次方程有实数根的条件是什么？

(△=b-4ac≥0)

3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？

24、一元二次方程的求根公式是什么？

第二环节：引入

谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？ （1）x+3x+4=0 （2）6x+x-2=0 （3） 2x-3x +1=0 目的：自然引出本节课要学习的课题

222第三环节：探究新知

计算填表

方程

x+3x+4=0 6x+x-2=0

2x-3x +1=0 222

x1

x2

x1+x2

x1x2

问题：

1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？

2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？

3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax+bx+c=0

(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

2

2

4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）

学生展示，教师指正

结论：对于一元二次方程ax+bx+c=0

(a≠0)当x1x2bcx1.x2

a，a2b24ac0时

第四环节：例题讲解

例：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积

（1）x+7x+6=0 （2）2x-3x-2=0 解：（1）这里a=1，b=7，c=6. b24ac72416250

22所以方程有两个实数根。

设方程的两个实数根是x1,x2，那么

x1x27,x1x26.

学生仿照例题1做2 第五环节：拓展练习

1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-6x+m==0的两个根，三角形的第三条边c=5,求这个三角形的周长。

3

2、变式训练：

已知三角形的两边长a、b是方程x2-6x+m==0的两个根，三角形的第三条边c能等于8吗？

3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3. 4、已知方程6x+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。

第六环节 感悟与收获

学生总结

在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

，x1x2= ⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

第七环节 布置作业

2P52

A 知识技能1

B

数学理解3 教后反思：本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明——练习”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类，有利于学生更好地掌握。

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