*5 一元二次方程的根与系数的关系课堂实录

红寺堡区回民中学

教务处

九

年级集体备课教案

学科

数学

主备人

杨南

主备时间

2018.9.5

执教班级

总

5

课时

执教人

执教时间

课题

21.2.4

一元二次方程的根与系数的关系

第 4 课时

教学

目标

1.学生知道一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。

2.学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。

3.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养观察分析和综合、判断的能力。激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。

教学重点为一元二次方程根与系数的关系的证明

难点为发现一元二次方程根与系数的关系。

本节课我采用讲授法、讨论法、启发法等教学方法。

一、备课检查

阅读教材P15～16，完成下列内容．

1．完成下列表格：

方程

x2－5x＋6＝0 x2＋3x－10＝0 x1

2 2 x2

3 －5 x1＋x2

5 －3 x1x2

6 －10

第一个表格学生独立完成，第二个表格小组合作。

批注

使用媒体的作用

使用PPT课件，扩大课堂教学内容容量，提高教学效率。

重点

难点

教学

方法

教

学

过

程

问题：你发现什么规律？

①用语言叙述你发现的规律：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项．

②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

2．完成下列表格：

方程

2x2－3x－2＝0 3x2－4x＋1＝0 x1

2 1

3x2

1－

21 x1＋x2

3

24

3x1x2

－1 1

3

问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：

①用语言叙述发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．

②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的

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bc规律：x1＋x2＝－，x1x2＝. aa二、导学设问

利用求根公式推导根与系数的关系：

－b＋b2－4acax＋bx＋c＝0的两根x1＝，x2＝2a2－b－b2－4ac．

2abc则x1＋x2＝－，x1x2＝．

aa三、互学展示

类型1

利用根与系数的关系求方程的两根之和与积

例1

(教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积：

(1)x2－6x－15＝0；

(2)3x2＋7x－9＝0；

(3)5x－1＝4x2. 解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15. 7(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3. 351(3)x1＋x2＝，x1x2＝. 44例2

(教材补充例题)已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．

【跟踪训练1】

已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A) A．x2－7x＋12＝0

B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0

D．x2－7x－12＝0 【点拨】

以x1，x2为根的一元二次方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 【跟踪训练2】

(《名校课堂》21.2.4习题)不解方程，求下列方程两个根的和与积．

(1)x2－6x＝－5；(2)2x2－1＝3－5x；

(3)3x2－3x＝x2；(4)4x2－2x＋1＝x＋8. 解：(1)原方程化为x2－6x＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5. 5(2)原方程化为2x2＋5x－4＝0，所以两根的和为－，两2根的积为－2. 3(3)原方程化为2x2－3x＝0，所以两根的和为，两根的积2为0. 3(4)原方程化为4x2－3x－7＝0，所以两根的和为，两根47的积为－.

4四、帮学提升

先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，则x1b＋x2＝－，x1x2＝ac. a

【思路点拨】

本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答

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类型2

根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值

例3

已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．

11(1)＋；(2)α2＋β2；(3)α－β.

αβ

解：∵α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，

∴α＋β＝3，αβ＝－5.

11α＋β3(1)＋＝＝－. αβαβ5

(2)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝32－2×(－5)＝19.

(3)∵(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝32－4×(－5)＝29.

∴α－β＝29或－29.

2．六种常用变形：

2222

(1)x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2；(2)(x1－x2)＝(x1＋x2)－

4x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；

2【方法归纳】

x1＋x2x211x1x21＋x2(4)＋＝；(5)＋＝＝x1x2x1x2x2x1x1x2利用根与系数的关系求代数式值（x1＋x2）2－2x1x2；

x1x2的三个步骤及六种常用变形：

(6)|x1－x2|＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2. 【跟踪训练3】

若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，1．三个步骤：

x2，则x1＋x2－x1x2的值为3．

(1)算：计算出【跟踪训练4】

已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两两根的和与积；

(2)变：将所求11根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是2

x1x2的代数式表示成五、悟学畅谈

两根的和与积的一元二次方程根与系数的关系：

形式；

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根(3)代：代入求值

x1，x2和系数a，b，c有如下关系：

bcx1＋x2＝－，x1x2＝.

aa作

业

布

置

1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是(D) A．4

B．－4

C．3

D．－3 2．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是(B) A．1

B．5

C．－5

D．6 3．两个实数根的和为3的一元二次方程是(A) A．x2－3x－4＝0

B．x2＋3x－4＝0 C．x2－3x＋4＝0

D．x2＋3x＋4＝0 4．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是－4．

25．已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x21＋x2＝23．

6．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0，试根据下列条件，求m的值．

(1)两根互为相反数；

(2)两根互为倒数．