命题、定理、证明1教学活动设计方案

5.3.2

命题、定理、证明

1.掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.

2.了解证明的意义.

通过讨论、探究、交流等形式,使学生在质疑、辩论中获得知识体验.

培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.

【重点】

掌握命题、定理的概念,了解证明的意义.

【难点】

1.分清命题的组成,能说出一个命题的逆命题.

2.掌握推理的方法和步骤.

导入一:

我们学过一些对某一件事情做出判断的语句,例如: (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; (2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.

像这样判断一件事情的句子叫做什么呢? [设计意图]

通过教材的举例,直接导入本课时的学习.

导入二:

在直角三角形中,如果一条直角边长为3,另一条直角边长为4,那么这个直角三角形的斜边长是5.这个结论是否正确呢?如果我们说它是正确的,就要拿出相应的依据,或者去证明你的猜想是正确的.要认识这个问题,就需要我们了解一些命题、定理、证明的相关知识.

[设计意图]

通过学生可能掌握的常识性问题,引出一些结论只靠猜想和验证还是不够的,必须给予科学的证明.

[过渡语]

(针对导入一)像对顶角相等这样的句子叫什么呢? 一、命题的定义

定义:判断一件事情的语句,叫做命题.

问题:下列语句,哪些是命题?哪些不是? (1)过直线AB外一点P,作AB的垂线; (2)过直线AB外一点P,可以作几条直线与AB平行? (3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这条直线平行; (4)若|a|=-a,则a≤0.

处理方式:(1)教师总结:(3)(4)这两个句子的共同特征是对一件事情做出判断;(2)指明概念以后,安排学生举例;(3)教师评价和鼓励学生.

(补充)判断下列语句是不是命题.

(1)两条直线相交有几个交点?

(2)相等的角是对顶角; (3)画∠AOB=30°;

22(4)如果x=y,那么x=y.

〔解析〕

问句一定不是命题,只有对一件事情做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.

解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.

[知识拓展]

(1)必须是对某件事情作出判断的句子,才能叫命题,反之不能作出判断的句子,不叫命题,这是辨别一个语句是否是命题的根本原则.

(2)命题的形式并非全部是语言叙述的形式,也可以用数学符号表示.

(3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵.

二、命题的组成

[过渡语]

命题的形式多种多样,命题是由哪些部分组成的呢? 命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.

命题常写成“如果……那么……”的形式,这时,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.

1.处理方式.

教师直接给出命题的组成包括两部分,题设和结论.并向学生解释命题的常见形式,即以“如果……那么……”的形式展现.强调有些命题的形式不明显,需要先将它写成以上形式.

2.例题讲解.

(补充)指出下列命题的题设和结论.

(1)对顶角相等; (2)不相等的两个角不是对顶角.

〔解析〕

根据题意,适当增减词语,将原命题改写成“如果……那么……”的形式.用“如果”开始的部分即为题设,用“那么”开始的部分即为结论.

解:(1)题设:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.

(2)题设:两个角不相等.结论:这两个角不是对顶角.

[知识拓展]

(1)任何命题都由“题设”和“结论”构成.已知的事项为题设,在命题的前半部分;由已知事项推出的结果是结论,在命题的后半部分.

(2)辨别题设和结论时,通常将命题改写为“如果……那么……”的形式,“如果”以后的内容为题设,“那么”以后的内容为结论.改写时需在不改变原意的情况下,适当补充词语,使语句通顺、完整.

三、命题的真假

[过渡语]

凡是命题都是正确或者是错误的吗?

1.判断下列命题是否正确.

(1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1; (2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补; (3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0; (4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数; (5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数; (6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.

2.真命题和假命题.

如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题;有些命题中,题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.

3.例题讲解.

(补充)“相等的角是对顶角”是真命题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.

〔解析〕

对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.若为真命题,可通过讲道理说明,若为假命题,可通过举一反例说明.

解:不是真命题,如下图中∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角.

[知识拓展]

命题的真假是以对事情所作出判断的正确与否来划分的.

四、定理和证明

[过渡语]

命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假,怎么办呢?这就需要我们用推理的方法来加以证明.

1.定理.

定理与命题的联系,定理属于命题,而且属于真命题.即定理都叫命题,但命题不一定是定理.

2.如果是真命题,可以经推理证明其正确性,若判断为假命题,则需举反例说明或用反证法的思想说明.

(教材例2)如图所示,已知直线b∥c,a⊥b.求证a⊥c.

〔解析〕

要证明a⊥c,只需要证明∠2为90°即可.如果能证明∠1=∠2,问题即可解决.

证明:因为a⊥b(已知), 所以∠1=90°(垂直的定义).

又b∥c(已知), 所以∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).

所以∠1=∠2=90°(等量代换), 所以a⊥c(垂直的定义).

[知识拓展]

证明的实质是将命题的题设实现为命题的结论,为原因(题设)与结果(结论)架设一座桥梁,不论采取什么方法,只要用已经学过的知识、有理论依据地推出结论就可以,因此证明同一个命题会有多种方法.

1.命题的“题设”和“结论”是就命题的结构而言,任何一个命题都包含这两部分,而且“题设在前,结论在后”.对于这两部分不明显的命题,需挖掘隐含的内容,将它写成“如果……那么……”的形式,再辨别.

2.命题的“真”“假”是对命题的内容而言的.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需推理、论证,而说明一个命题的错误性只需举出一个反例即可.

3.证明中的每一步推理都要有根据,根据可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等.

1.下列语句中不是命题的是

(

) A.锐角小于钝角

B.作角A的平分线

C.对顶角不相等

D.股票不是人民币

解析:根据命题的定义:对一件事情作出判断的语句叫做命题进行解答.“锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行为,没有作出判断,不是命题.故选B.

2.下列命题中,正确的是

(

) A.对顶角相等

B.同位角相等

C.内错角相等

D.同旁内角互补

解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.故选A.

3.请给假命题“一个正数永远大于它的倒数”举出一个反例:

.

解析:判断“一个正数永远大于它的倒数”什么情况下不成立,即找出一个正数小于或等于它的倒数即可.答案不唯一.故填,<=2.

5.3.2

命题、定理、证明

1.命题的定义

例1 2.命题的组成

例2 3.命题的真假

例3 4.定理和证明

例4