一元二次方程的概念优质公开课教案

§2.1.1 认识一元二次方程

【教学目标】

1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，感受学习数学的意义，提高学习数学的兴趣与激情；

2.理解一元二次方程及其相关概念，掌握一元二次方程的一般形式，能熟练地将一个一元二次方程化为一般形式. 【教学重难点】

重点：一元二次方程及其相关概念的理解．

难点：在具体情境中建立一元二次方程的数学模型，并归纳出一元二次方程的概念．

【教学过程】

一. 情境引入

斜靠在墙上的梯子，当其顶端下滑一定距离时，其底端滑动多远？在矩形地面的中央铺设一定面积的矩形地毯，如果四周未铺地毯的条形区域宽度相同，那么这个宽度是多少？五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能找到这样的整数吗？这些看似风马牛不相及的问题，却蕴含着某些内在的联系,那究竟有什么联系呢？一起来看一看吧. 问题1 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米？

思考：如何将这样的实际问题转化成数学问题？（列方程）

设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距离墙x6m，依题意可得：

x6272102

8m 你会解这个方程吗？

化简整理得：

x212x150

你会解这个方程吗? 思考：这是我们所熟悉的方程类型吗？（不是）

章头解读

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,用现有的知识，我们并不能解决上面的方程，所以我们必须对方程进行进一步的学习.（必要性——为什么学）

本章我们要一起走进一元二次方程的世界，通过生活中的实际问题，抽象出数学模型，经历认识一元二次方程的过程，再对它的解法进行探究，最后回归生活，利用它来解决实际问题.（学习内容和方式——10m

学什么，怎么学）

本章的学习目标——教材P30页（学习目标——学到什么程度）

接着我们再继续看刚刚提出的问题. 二．建立模型

问题2

幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

如果设花边的宽为xm，则地毯中央长方形图案的长为

5m 8m 82xm，宽为52xm，依题意可得：

82x52x18

x11

0化简整理得：

2x213问题3

观察等式：102112122132142

你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方吗？

如果设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x+1，x+2，x+3，x+4，则：

2 xx1x2x3x4

22222化简整理得： x8x200

三. 探究新知

由上面三个问题，我们可以得到三个方程：

①

x671022222222x2x1xx1x2；

②82x52x18；③

化简以后得：

222①

x12x150；

②2x13x110；

③x8x200

上述这三个方程有什么共同特征呢？

①每个方程的左右两边都是整式；②每个方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2.

我们将这样的特征用数学语言进行描述：

1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数x

的整式方程，并且都可以化成ax2bxc0（a，b，c都为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.

注意：（1）一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程；只含有一个未知数；化简后未知数的最高次数是2，即化简后形如ax2bxc0，且a0.

（2）

对于方程ax2bxc0，当a0,b0时，方程是一元一次方程；当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件a0；

例1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）4x23y10；

（2）x24；

（3）x21x2

；

x1（4）x24x2；

（5）ax2＋bx＋c =0（a,b,c为常数）；

（6）(m2＋3)x2＋2x－1=0.（m为常数）

2

小结：判断一个方程是否是一元二次方程，根据定义，必须具备条件:

（1）必须是整式方程；

（2）方程可化为ax2bxc0(a,b,c都是常数，且a0). 例2．关于x的方程m1xm12x3是一元二次方程，则m的值为

.

特别提醒：时刻谨记，二元一次方程中，二次项系数不能为0.

2．一元二次方程的一般形式及一元二次方程的相关概念

ax2bxc0(a,b,c都是常数，且a0).其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.

思考：一元二次方程的一般形式中，常数b和c的值可以为0吗？

注意：.

（1）一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边的二次项系数不能为0. 此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须先把它化为一般形式.

练习：指出以上3个方程的二次项、一次项和常数项. 222①

x12x150；②2x13x110；③x8x200

例3. 根据题意，列出一元二次方程，并指出它们的各项系数. （1）有一个面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？

小结：设的未知数不同，列出的方程也会有差异.

四. 课堂小结

本节课你收获了什么？（从数学知识和思想方法两个方面总结）

五. 拓展提高

若m2x2xm1120是关于x的一元二次方程,求m的值.

六. 布置作业：

教材习题2.1 第1,2,3题

七. 教学反思

过程中应多注重引导学生如何建立方程模型，同时，加强对定义中a≠0的认识.