三元一次方程组的解法2优秀教案

教学设计

*8.4

三元一次方程组的解法

教学目标

1、知识与技能：掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.

2、过程与方法：在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.

3、情感态度与价值观：培养学生类比学习、敢于创新的精神.

教学重难点

【重点】

三元一次方程组的解法.

【难点】

三元一次方程组的解法的选择.

教学准备

【教师准备】

教材例1、例2演示过程图片.

【学生准备】

总结二元一次方程组的解法和解应用题的步骤.

教学过程

一、新课导入

导入一:小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张？.

教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.

师:怎样解决这个问题,同学们自然会想到列方程(组)的办法.老师相信大家会通过列一元一次方程、二元一次方程组来解决问题.不过老师想提出一个挑战性的问题,大家能用设三个未知数的方法解决这个问题吗? [设计意图]

不在解决问题的方法上耗费时间,直接提出与本课时相关的学习内容,用提出“挑战”的方式激发学生的学习兴趣.

导入二:

某学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2∶3,三种球共41个,那么这三种球各有多少个?这里三种球的个数都是未知的,可设篮球有x个,排球有y个,足球有z个,根据等量关系,可列方程组前面学习了二元一次方程组的解法,如何把这个方程组转化成二元一次方程组,进而求解呢?

[设计意图]

通过生活情境,帮助学生感知三元一次方程组的存在.同时引导性地提出了解三元一次方程组的方法.

二、新知构建

1、三元一次方程组的定义

师:为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢? 生:(思考后回答)

x+y+z=12,

x+2y+5z=22,

x=4y.

问题1

怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢? (把三个方程组合在一起.这里暂时可以不用三元一次方程组的概念表达.)

问题2

观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同? (方程组中含有三个未知数.) [设计意图]

通过问题引入,引发学生的思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引入三元一次方程组的概念.

问题3什么是三元一次方程组? 含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

2、三元一次方程组的解法

(1)思路提示: 我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢? (2)消元过程: 让我们看前面列出的三元一次方程组:

仿照前面学过的代入法,我们可以把③分别代入①②,得到两个只含y,z的方程: 4y+y+z=12.

4y+2y+5x=22.

它们组成方程组:

得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.

(3)思路总结: 从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.

[设计意图]

主要引导学生用“消元”思想去解三元一次方程组.这是类比思想的再次运用,是学生顺利实现知识迁移的必要条件.

3、解方程组

解三元一次方程组:

〔解析〕

方程①只含x,z,因此,可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组.

解:②×3+③,得11x+10z=35.④

①与④组成方程组

解这个方程组,得

把x=5,z=- 2代入②,得2×5+3y- 2=9, 所以y=.

因此,这个三元一次方程组的解为

[知识拓展]

解三元一次方程组和解二元一次方程组的方法一样,都是消元,但是有些特殊的三元一次方程组可以用一些特殊的解法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.

追问:你还有其他解法吗?

[设计意图]

单就例1而言,先消去哪个未知数建立新的二元一次方程组的方法是多种的,所以这个设问对启迪学生灵活解三元一次方程组是非常必要的.

在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.

〔解析〕

把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.

解:根据题意,得三元一次方程组:

②- ①,得a+b=1.④

③- ①,得4a+b=10.⑤

④与⑤组成二元一次方程组

解这个方程组,得

把代入①,得c=- 5.

因此

即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.

[知识拓展]

(1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解;(3)三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.

三、课堂小结

用消元法解三元一次方程组的步骤: ①利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组; ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值; ③将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解.

四、检测反馈

1.以为解建立一个三元一次方程,不正确的是

(

) A .

3x- 4y+2z=3

B.x- y+z=- 1 C.x+y- z=- 2

D.y- z=1 2.若方程x+y+m=4,x- y- 2m=- 1和x- 2m+2y=2有公共解,则x+y+m的值为

.

3.如图①所示,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图②所示,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与

个砝码C的质量相等.

4.解方程组

板书设计

8.4

三元一次方程组的解法

1.三元一次方程组的定义

2.三元一次方程组的解法

3.解方程组

例1 例2

作业布置

一、教材作业

【必做题】教材第106页练习第1,

2题.

【选做题】教材第106页习题8.1第2题.

二、课后作业

【必做题】

1.下列方程组不是三元一次方程组的是

(

) A.

B.

C. D.

2.解方程组A.先消去x

C.先消去z

若要使运算简便,则消元的方法应为 (

) B.先消去y

D.以上说法都不对

3.如果方程组的解也是方程mx- 2y+z=0的解,那么m的值是 (

) A.

B.-

C.

D.-

4.已知方程组则x+y的值为

.

5.有这样一道数学题,在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=4;当x=2时,y=4;当x=5时,y=22.请你列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c的值.

【选做题】

6．已知A.9 B.- 3 且x+y=3,则z的值为

(

) C.12 D.不确定

7．

为了奖励进步较大的学生,某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品,其单价分别为4元、5元、6元,购买这些钢笔需要花60元.经过协商,每种钢笔单价下降1元,结果只花了48元,那么甲种钢笔可能购买

(

) A.11支

B.9支

C.7支

D.4支

8.如图所示,天平中放有苹果、香蕉、砝码,且两个天平都平衡,则一个苹果的质量是一个香蕉的质量的

(

) A.倍

B.倍

C.2倍

D.3倍

9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文x,y,z对应密文2x+3y,3x+4y,3z.例如:明文1,2,3对应密文8,11,9.当接收方收到密文12,17,27时,则解密得到的明文为

.

10.有一个三位数,其各位上的数字之和为16,十位上的数字为百位与个位上的数字之和,如果将这个三位数的个位数字和百位数字对换,那么所得到的三位数比原来的三位数大594,求这个三位数是多少.

教学反思

1:、成功之处：学习三元一次方程和三元一次方程组的相关知识,是在类比二元一次方程和二元一次方程组的基础上进行的,本课时的教学活动是在类比思想的指导下进行的,把知识类比的探索活动交给学生来完成,既巩固了旧知识,又顺利地进行了新知识的学习

2不足之处：由于解三元一次方程组的过程比较复杂,因此在例题的演示过程中花费的时间比较多,在这个过程中淡化了对解三元一次方程组方法的指导.