阅读与思考　为什么√2不是有理数教学设计(第一课时)

《阅读与思考——2为什么不是有理数》教学设计

广河一中 马维俊

一、教材分析

本节内容是人教版数学七年级下册第六章《阅读与思考》的内容，是在学完了实数之后，专门安排的一节阅读课，旨在提升学生对无理数的理解。

二、学情分析

学生学完了本章内容后，对实数有了很好的理解，尤其对无理数和有理数从概念上有了认识，本节课的内容的学习会让学生对无理数有更深的理解。

三、学习目标

1.理解有理数可以用分数来表示，并能将有限循环小数化为分数。

2.通过用反证法证明2不是有理数，进而加强对无理数的理解。

3.通过本节课的学习，认识无理数并非“无理”，而是对客观世界存在的量的反映

四、重点难点

重点：理解“2不是有理数，但和有理数一样反映客观世界中的量”。

难点：用反证法证明2不是有理数。

五、教学方法

老师引导为主，学生合作探究学习和自主学习。

六、教学过程

（一）毕达哥拉斯学派——万物皆数

公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即2不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此，引发了第一次数学危机。

（二）学生活动——面积为2 dm2的正方形的边长

问题：能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？

学生活动：动手操作，并得出大正方形的边长是2dm。

思考：2有多大呢？它是有理数吗？

（三）回顾——有理数与无理数

回顾之前学过的内容，回答下面问题：

1.什么是有理数？

2.么是无理数？

要点结论：有理数可以表示两个互质的整数的比（分数）的形式。

（四）探究——有理数化分数

思考：如何将有理数化为分数的形式？

1.有限小数化为分数

2.无限循环小数化为分数

（1）等比数列法

本方法要用到高中数列相关知识，不再讲述具体用法。

（2）解方程法

无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数。

（a）纯纯循环小数化分数

例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：

10x-x=1.1111……-0.1111……

9x=1即X=1/9 例：0.999999.......=1 设x=0.9999999...... 10x-x=9.999999.....-0.999999..... 9x=9即x=1 归纳：为了公式化，我们可以这样表示：

x·10^b－x ，其中b是循环节的位数。这适合所有纯循环小数

（b）混循环小数化分数

例：0.12111…… 1的循环，同样，我们设此小数为x，可得：

1000x-100x=121.111……-12.111……

900x=109 即X=109/900 归纳：X·10^（a+c）-x·10^a，这里的a是小数点后的循环节前的数字的位数，c代表循环节位数。

(3)套公式法

(a)纯循环小数化分数

用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环

就是9分之9（1），以此类推。

(b)混循环小数化分数

例：把混循环小数0.228˙化为分数：

解：0.228˙

=[（228/1000）+8/9000）] =228/（900+100）+8/9000 =[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）

=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）] =（228/900）-（22/900）

=103/450；

用9和0做分母，首先有一个循环节有几位数字就几个9，接着有几个没加入循环的数就加几个0，再用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子，比如0.43，3的循环，有一位数没加入循环，就在9后面加一个0做分母，再用43减4做分子，得 90分之39，0.145，5的循环就用9后面加2个0做分母，再用145减14做分子，得900分之131，0.549，49的循环，就

用99后面加1个0做分母，用549减5做分子，最后得990分之544，即495分之272，以此类推，能约分的要化简。

（五）证明——

2不是有理数

假设2为有理数,那么存在两个互质的正整数p, q,使得

2p

q于是p2q

两边平方得p22q2

由2q2是偶数，可得p2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。

因此可设p=2s,代入上式，得4s22q2,即q22s2. 所以q也是偶数。这样，p和

q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾。这个矛盾说明，2不能写成分数的形式，即2不是有理数。实际上，2是无限不循环小数。

（六）练习

用类似的方法，你能证明32不是有理数吗？

（七）小结

事实上，无理数只是一种命名方式，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映。