1.1.2 平面上的伸缩变换教案及板书设计

1.1.2平面上的伸缩变换

教学设计

一、教学目标：

知识与技能：掌握平面上的伸缩变换公式

过程与方法：体会伸缩变换的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识

二、教学重点：理解平面上的伸缩变换的本质

三、教学难点：会用伸缩变换解决实际问题

四、教材分析：本节课作为选修4-4的第一章第一节的第二课时，是很基础的一节课，，一个作用就是承上启下，其实伸缩变换的本质就是体现两个坐标之间的内在关系，明确了此种关系，对于后面极坐标系，以及参数方程，就没有那么困难了。

五、学情分析：由于初中讲过的平移变换，和必修四讲过的三角图象的变换作为基础，学生学习此节新课的问题是不大的，主要是原来用文字叙述变换过程，现在转换为用点与点之间的关系公式来表示，只是形式发生了变化。

六、教学过程

通过一个我自制的视频动画引入本节课教学，在复***移变换的基础上，又调动学生学习的积极性，活跃了课堂气氛。

（一）问题探究

（1）怎样由正弦曲线ysinx得到曲线y3sinx？

思考：

从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍”的实质是什么？

（2）怎样由正弦曲线ysinx得到曲线ysin2x？

思考：

从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标y不变，将纵坐标x缩短为原来的为原来的1/2倍”的实质是什么？

1Xx(3)

设正弦曲线ysinx上的任意一点

P(x,y)，按下面的变换公式2,把点P

变Y3y为平面上的新的点Q(X,Y)

,会得到什么曲线呢？

设计目的：前两个问题实际上必修四已经学习过了，学生能够轻易回答出来，对于相应的思考，学生从图象上能够观察出坐标之间的关系，也就可以回答出来。第三个问题是结合前两个问题的一个深化，找到变换公式的本质。

(二)

公式深化

Xax(其中a0,b0)称为平面上伸缩变换的坐标表达式

Yby思考：a,b 取何值时？坐标表示伸长。取何值时？坐标表示缩短。

设计目的：设计这个思考问题，是想让学生充分理解平移变换的坐标公式，区分之前从两个图象解析式来分析时的不同点。

(三)典型例题

(1)根据变换公式求新图象的方程

X2x例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

Y3y第

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（1）2x+3y=0;

(2) x2y21;(3)y24x

(2)根据变换公式求原图象的方程

x3x,例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x29y29，yy求曲线C的方程。

(3)已知新图象和原图象的方程，求伸缩变换

例3、求伸缩变换，使得曲线4x29y236变成x2y21

设计目的：让学生体会伸缩变换的相应的常见题型，掌握解题技巧，及伸缩变换的本质。

(四)探索思考

在伸缩变换下，直线，圆，椭圆、抛物线，双曲线会变成什么曲线？

设计目的：首先让学生讨论，然后让学生给出讨论结果，从而使学生了解我们学习过曲线经过伸缩变换之后会是什么曲线，使所学习的知识系统化。

(五)链接高考

x2y21

(2017全国卷2，20题) 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP2NM(1)求点P的轨迹方程.(2)略

设计目的：通过前面的学习，使学生明确伸缩变换的本质同时，让学生能够学以致用，感受高考题的出题形式，虽然是选修4-4学习的知识，但是在圆锥曲线的高考题中同样可也应用，强调前后知识的联系。

巩固练习：

（1）在同一坐标系下，将曲线y2sin3x变为曲线ysinx的伸缩变换公式为（

C

）

3x3xx3xx3xx1x1A.

B.C.D.

yyyyy2yy2y22xxsin6,正弦曲线ysinx在此变换下(2)在平面直角坐标系下伸缩变换的表达式为yycos6得到的曲线方程为（B

）

323sin2xC.ysin2xD.y3sin2x

A.y2sin2xB.y23设计目的：巩固本节课所学习的新知识，掌握常见题型的运用。

(六)

课堂小结

设计目的：系统的了解本节课的知识，学生和老师一起总结，加深印象

(七)

课后作业

教材第5页，练习及习题

设计目的：巩固本节课所学习的新知识，做到活学活用。

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