2.2.1 直线的参数方程教学实录

《直线的参数方程》教学设计

教学目标：

1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、

严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论.

教学手段：多媒体课件．

教学过程：

一、回忆旧知，做好铺垫

教师提出问题：

1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．

2.直线的方向向量的概念．

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

5.如何建立直线的参数方程？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．[来源:Zxxk.Com]

【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究

1.类比数轴，异曲同工

问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有

两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？

教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点M0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

2. 选好参数，柳暗花明

问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线l上点M运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0Mte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．

【设计意图】明确参数．

问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出e(cos,sin)，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

3. 等价转化，深入探究

问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y)，怎样用参数t表示x,y？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

因为e(cos,sin)，（0，MM,[)）xy(,)x(,y)x,yy0)00(0x0，

又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos （t为参数）． yy0tsin教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量；

②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

4.引申探究，深入理解

xx0at若直线l的参数方程为  （a,b为常数，t为参数），如何化为标准式？

yybt0aaxxtxxt002222ababb0时，；b0时，

bbyyyytt002222abab【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．会把一般形式化为标准式. 三、运用知识，培养能力

2例1.已知直线l:xy10与抛物线yx交于A,B两点，求线段AB的长度和点

M(1,2)到A,B两点的距离之积．

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：

xy10，得x2x10(*)．

2yx设A(x1,y1)，B(x2,y2),由韦达定理得：x1x21，x1x21．

解法一：由[来源:Zxxk.Com]AB1k2(x1x2)24x1x22510．

1515，

，x2223535．

y1，y22215351535所以A(,)，B(,)．

2222由（*）解得x1则MAMB(115)2(235)2(115)2(235)2

2222353542．[来源学#科#网Z#X#X#K]

解法二、因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程是

3432x1tcosx1t42 （为参数） （t为参数）， 即．

t3y2tsiny22t42把它代入抛物线的方程，得t2t20，

解得t12210210，t2．

22由参数t的几何意义得：ABt1t210，

MAMBt1t22．

在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

[来源:学科网]探究：直线 xx0tcos （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，对应yy0tsin的参数分别为t1,t2．

（1）曲线的弦M1M2的长是多少？

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：

（）1M1M2t1t2，

（2）tt1t2

2【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．

x2y21于A,B两点．如果点M恰好为线段AB例2、经过点M(2,1)作直线l，交椭圆164的中点，求直线l的方程．

分析：引导学生以M作为直线l上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，则由t1t20求出直线l的斜率．过程如下：

解：设过点M(2,1)的直线l的参数方程为代入椭圆方程，整理得

(3sin21)t24(cos2sin)80．

因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，

x2tcos（t为参数），

y1tsin4(cos2sin)．

23sin1tt因为点M为线段AB的中点，所以120，即cos2sin0．

21于是直线l的斜率ktan．

21因此，直线l的方程是y1(x2)，即x2y40．

2则t1t2教师引导学生课下用其他方法解决．

思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？

【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．

四、自主解决，深入理解

1x1t2一条直线的参数方程为(t为参数)，另一条直线的方程是xy230，y53t2则两直线的交点与点(1,5)间的距离是__________. 本题由学生独立完成，教师补充完善．

解：把直线的参数方程代入xy230，得t43，所求距离为|t|43

【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．

五、归纳总结，提升认识 先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在

学生总结的基础上再进行概括．

1．知识小结

本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．

2．思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．

【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．

六、布置作业，巩固提高

教材P39—1,2,4 ；

【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解和运用．

七、板书设计

教案设计说明

本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．

本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t表示，因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数．从而，建立直[来源:学#科#网Z#X#X#K]直线的参数方程

1.直线的参数方程

3.例题分析

2.弦长公式

线的参数方程就转化为建立坐标t与坐标x0,y0及倾斜角之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．

在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．