4. 速度变化快慢的描述——加速度名师教学视频（文字实录）

第6节

匀变速直线运动位移与时间的关系

学习目标

核心提炼

1.知道匀速直线运动的位移与v－t图像中矩1种方法——极限思想解决问题的形面积的对应关系。

2.了解位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。

3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式对匀变速直线运动问题进行分析和计算。

方法

1个公式——位移与时间关系式x1＝v0t＋2at2

2种图像——x－t和v－t图线的特点及应用

tv＋vt－v＝v＝04.知道什么是x－t图像，能应用x－t图像分2个重要推论——22

2Δx＝aT析物体的运动。

一、匀变速直线运动的位移

分析教材第23～25页图1－6－1的(a)、(b)、(c)、(d)的图解过程，了解位移公式的推导方法，从中感受极限思维方法的应用。

1.在v－t图像中表示位移

(1)微元法推导

①把物体的运动分成几个小段，如图1甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。

②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。

图1 ③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。

(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线与对应的时间轴所包围的面积。

2.位移与时间的关系

1用面积表示位移：x＝2（v0＋vt）t1⇨x＝v0t＋at2

2速度公式：vt＝v0＋at思维拓展

1由匀减速直线运动的位移公式x＝v0t－2at2可知，当时间t足够长时，位移x可能为负值。位移为负值表示什么意思？

答案

位移为负值，表明物体先向正方向做匀减速运动，当速度减为零以后，又沿负方向做匀加速直线运动，故随着时间的推移总位移可能沿正方向先增加再减小，然后沿负方向增加，故位移为负值。表明物体返回到出发点后继续向负方向运动。

二、位移—时间图像

阅读教材第25页“位移—时间图像”部分，理解位移—时间图像的含义。

1.x－t图像：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像。

2.常见的x－t图像

(1)静止：一条平行于时间轴的直线。

(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线。

思维拓展

做直线运动的物体在某段时间内的位移—时间图像如图2所示。试分析物体在t

＝0到t＝6 s内的运动情况，并画出该物体的速度—时间图像。

图2 解析

由x－t图像可以看出，物体在0～2 s内的位移均匀增大，且为正值，故物Δx110体沿规定的正方向运动，速度v1＝Δt＝2

m/s＝5 m/s。在2～4 s内，物体的位1Δx2移没有变化，则v2＝Δt＝0，物体处于静止状态。在4～6 s内，物体的位移先为2Δx3－10－10正值且逐渐减小，后为负值且逐渐增大，速度v3＝Δt＝

m/s＝－10 m/s，6－43“－”号表示物体运动方向与规定的正方向相反。由此可作出物体运动的v－t图像如图所示。

答案

见解析

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1 问题2

匀变速直线运动位移公式的理解与应用

[要点归纳]

11.公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋2at2只适用于匀变速直线运动。

12.公式的矢量性：公式x＝v0t＋2at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。通常有以下几种情况：

运动情况

取值

若物体做匀加速直线运动

a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向) 若物体做匀减速直线运动

a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向) 若位移的计算结果为正值

若位移的计算结果为负值

3.公式的两种特殊形式

(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。

1(2)当v0＝0时，x＝2at2(由静止开始的匀加速直线运动)。

[精典示例] [例1]

(2017·安庆高一检测)一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：

(1)物体在3 s内的位移大小；

(2)物体在第3 s内的位移大小。

思路探究

(1)两问分别求的是哪段时间内的位移？

(2)选用什么公式来求解位移？

解析

(1)用位移公式求解，3 s内物体的位移

112x3＝v0t3＋2(－a)t23＝5×3 m－×0.5×3 m 2＝12.75 m。

(2)同理2 s内物体的位移

112x2＝v0t2＋2(－a)t2＝5×2 m－×0.5×2 m＝9 m 22因此，第3 s内的位移

x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。

答案

(1)12.75 m

(2)3.75 m

说明位移的方向与规定的正方向相同

说明位移的方向与规定的正方向相反

1关于x＝v0t＋2at2的注意点

1(1)利用公式x＝v0t＋2at2计算出的物理量是位移而不是路程。

(2)物体做匀减速运动时，若以初速度v0的方向为正方向，a仅表示加速度的大小，1这时的位移公式可表示为x＝v0t－2at2。

(3)因为位移公式是一元二次函数，故x－t图像是一条抛物线(一部分)。

[针对训练1]

某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为

(

)

A.1.25 s

B.2.5 s

C.3 s

D.6 s 1解析

x＝v0t＋2at2，知v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，

据vt＝v0＋at＝3 m/s，得t＝1.25 s，故选A项。

答案

A

对x－t图像的认识

[要点归纳] 1.x－t图像的物理意义：x－t图像反映了物体的位移随时间的变化关系，图像上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。

2.x－t图像的应用

大小

位移

方向

大小

速度

方向

初、末位置的纵坐标差的绝对值

末位置与初位置的纵坐标差的正负值，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向

斜率的绝对值

斜率的正负，斜率为正，表示物体向正方向运动；斜率为负，表示物体向负方向运动

图线起点纵坐标

图线起点横坐标

表示两物体在同一位置(相遇) 运动开始位置

运动开始时刻

两图线交

点的含义

[精典示例] [例2] (多选)如图3所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图像，由图可

知(

)

图3 A.t＝0时，A在B的前面

B.B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面

C.B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度

D.A运动的速度始终比B大

[思路探究]

(1)x－t图像的斜率是什么？

(2)x－t图像的横截距、纵截距意义是什么？

(3)x－t图像的交点表示什么？

解析

t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A正确；t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后跑在A的前面，B正确；B开始运动的速度比A小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错误。

答案

AB

(1)x－t图像斜率表示速度。

(2)x－t图像交点表示相遇、位移不一定相等，因为出发点位置不一定相同。

[针对训练2] (多选)如图4所示为甲、乙两物体相对于同一参考系的x－t图像。下面说法正确的是(

)

图4

A.甲、乙两物体的出发点相距x0

B.甲、乙两物体都做匀速直线运动

C.甲物体比乙物体早出发的时间为t1

D.甲、乙两物体向同方向运动

解析

由图像可知，t＝0时甲的位置为x＝x0，乙的位置为x＝0，故两物体出发点相距x0，A正确；x－t图像的斜率表示速度，两图线都是倾斜直线，即两物体都做匀速直线运动，且v甲＜v乙，B正确；甲从t＝0开始计时就出发，乙在0～t1这段时间内保持静止，故甲比乙早出发的时间为t1，C正确；甲图线的斜率为负值，表明甲向负方向运动，乙图线的斜率为正值，表明乙向正方向运动，故甲、乙两物体的运动方向相反，D错误。

答案

ABC

两个重要的推论

[要点归纳]

1.推论1：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间－时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即v＝vt＝2(1)适用条件：匀变速直线运动。

(2)应用：计算瞬时速度。

[精典示例] v0＋vt2。

[例3]

一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。

求：(1)滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？

(2)滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少？

思路探究

解析

(1)法一

利用速度公式和位移公式求解。

1由vt＝v0＋at和x＝v0t＋2at2

可得a＝0.128 m/s2

t＝25 s。

法二

利用平均速度公式求解。

由x＝v0＋vt2t

t＝25 s。

(2)法一

速度公式法

25中间时刻t′＝2

s vt＝v0＋at′＝3.4 m/s 2法二

平均速度公式法

v0＋vtvt＝2＝3.4 m/s 2答案

(1)25 s

(2)3.4 m/s

xv0＋vt(1)若题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，一般用v＝t＝2计算较方－便。

(2)若题目中无位移x，也不需求位移，一般用速度公式vt＝v0＋at。

12(3)若题目中无末速度vt，也不需要求末速度。一般用位移公式x＝v0t＋2at求解。

[针对训练3]

(2017·济南一中期末)一辆汽车4 s内做匀加速直线运动，初速度为

2 m/s，末速度为10 m/s，在这段时间内，下列说法正确的是(

) A.汽车的加速度为4 m/s2

B.汽车的加速度为3 m/s2

C.汽车的位移为24 m D.汽车的平均速度为3 m/s －v0＋vtΔv2解析

汽车的加速度a＝Δt＝2 m/s，故A、B错误；平均速度v＝2＝6 m/s，－故D错误；位移x＝vt＝24 m，故C正确。

答案

C 2.推论2：匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、

xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。

142(1)推导：x1＝v0T＋2aT2，x2＝v0·2T＋2a·T，

92x3＝v0·3T＋2a·T……

13所以xⅠ＝x1＝v0T＋2aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋2aT2，

5xⅢ＝x3－x2＝v0T＋2aT2……

故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2……

所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。

(2)应用：

①判断物体是否做匀变速直线运动

如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。

②求加速度

Δx利用Δx＝aT2，可求得a＝T2。

[例4]

从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图5所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。试求：

图5 (1)小球的加速度是多少？

(2)拍摄时小球B的速度是多少？

(3)拍摄时xCD是多少？

思路探究

(1)小球做匀加速直线运动。AB、BC、CD是相邻相同时间内的位移，可用逐差相等的推论。

(2)B点可看作某过程的中间时刻，可用平均速度的推论。

解析

小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。

(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为

－2－2ΔxxBC－xAB20×10－15×1022a＝T2＝T2＝

m/s＝5 m/s

20.1(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即

－2－2xAC20×10＋15×10vB＝vAC＝2T＝

m/s＝1.75 m/s。

2×0.1－(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以

xCD－xBC＝xBC－xAB

所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝

25×10－2 m＝0.25 m。

答案

(1)5 m/s2

(2)1.75 m/s

(3)0.25 m

(1)逐差相等适用于匀变速直线运动中相邻相等时间内的两个过程。

－v0＋vtx(2)v＝t适用于任何运动，v＝vt＝2只适用于匀变速直线运动。

2－[针对训练4]

一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内发生的位移为8 m，在第5 s内发生的位移为5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是

(

) A.大小为3 m/s2，方向为正东方向

B.大小为3 m/s2，方向为正西方向

C.大小为1.5 m/s2，方向为正东方向

D.大小为1.5 m/s2，方向为正西方向

解析

设第3 s内、第5 s内位移分别为x3、x5，则

x5－x3＝x5－x4＋x4－x3＝2aT2，得a＝－1.5 m/s2，负号表示方向沿正西。故选项D正确。

答案

D

1.(多选)某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t

的单位分别为m和s，下列说法正确的是

(

) A.v0＝4 m/s，a＝4 m/s2

C.2 s内的位移为24 m

B.v0＝4 m/s，a＝8 m/s2

D.2 s末的速度为24 m/s 1解析

将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋2at2相对照即可判定v0＝

4 m/s，a＝8 m/s2，A错误，B正确；把t＝2 s代入公式可得x＝24 m，C正确；由于vt＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2 s代入可得v＝20 m/s，D错误。

答案

BC 2.汽车进行刹车试验，若速度从8 m/s匀减速到零所用的时间为1 s，按规定速度为8 m/s的汽车刹车后位移不得超过5.9 m，那么上述刹车试验是否符合规定

(

) A.位移为8 m，符合规定

B.位移为8 m，不符合规定

C.位移为4 m，符合规定

D.位移为4 m，不符合规定

v＋0解析

x＝vt＝2t＝4 m，所以符合规定。

－答案

C 3.(多选)某物体运动的v－t图像如图6所示，根据图像可知，该物体(

)

图6 A.在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2

B.在0到5 s末的时间内，位移为10 m C.在0到6 s末的时间内，位移为7.5 m D.在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m Δv2解析

在0到2 s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝Δt＝2

m/s2＝

111 m/s2，故A正确；0～5 s内物体的位移等于梯形面积x1＝(2×2×2＋2×2＋2×1×2) m＝7 m，故B错误；在5～6 s内物体的位移等于t轴下面三角形面积x21＝－(2×1×1) m＝－0.5 m，故0～6 s 内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5 m，D正确，C错误。

答案

AD 4.如图7，折线是表示物体甲从A地向B地运动的x－t图像，直线表示物体乙从B地向A地运动的x－t图像，则下列说法正确的是(

)

图7 A.在2～6 s内甲做匀速直线运动

B.乙做匀速直线运动，其速度大小为5 m/s C.从计时开始至甲、乙相遇的过程中，乙的位移大小为60 m D.在t＝8 s时，甲、乙两物体的速度大小相等

解析

位移—时间图像的斜率表示速度，故乙做匀速直线运动，甲在0～2 s内做匀速直线运动，2～6 s内处于静止状态，A错误；乙做匀速直线运动的速度为v乙60－100

m/s＝－5 m/s，负号表示朝着负方向运动，B正确；在t＝8 s时，甲、860－40乙相遇，此时甲的斜率即速度为v甲＝2

m/s＝10 m/s，乙的速度为－5 m/s，＝故两物体速度大小不相等，相遇时乙的位移大小为40 m，C、D错误。

答案

B 5.某种型号的飞机以60 m/s的速度着陆，着陆后飞机的运动可看作匀减速运动，加速度大小为6 m/s2，求飞机着陆后12 s内的位移大小。

图8

Δv解析

已知v0＝60 m/s，a＝－6 m/s2，则由0＝v0＋at得飞机停下来所需时间t＝a60＝6

s＝10 s，即飞机着陆10 s后就停下来不再继续向前运动，因此12 s内的位121移大小为x＝v0t＋2at＝[60×10＋2×(－6)×102] m＝300 m。

答案

300 m

基础过关

1.一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(

) A.物体的末速度与时间成正比

B.物体的位移必与时间的平方成正比

C.物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比

D.若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小

1解析

根据vt＝v0＋at和x＝v0t＋2at2可知，只有在初速度为零的情况下，速度与Δv时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝Δt可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。

答案

C 2.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为(

) tA.4

C.2t

tB.2

D.4t

11解析

由x＝2at2和4x＝2at′2得：t′＝2t，故C正确。

答案

C 3.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是(

) A.6 m

B.8 m

C.4 m

D.1.6 m v14解析

根据速度公式v1＝at，得a＝t＝1

m/s2＝4 m/s2。第1 s末的速度等于第

112 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移x2＝v1t＋2at2＝4×1 m＋2×4×12 m＝

6 m。故选项A正确。

答案

A 4.中国歼－20隐形战斗机进行了升空飞行测试并成功着陆。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为(

)

图1 A.vt

C.2vt

－

vtB.2

D.不能确定

0＋vvt解析

x＝v·t＝2·t＝2。

答案

B 5.(多选)如图2所示为汽车在行驶过程中通过交叉路口时的速度图像，由图像可知(

)

图2

A.汽车在路口等候的时间为10 s B.汽车减速过程的加速度大小为2.5 m/s2

C.汽车减速运动过程的位移大小为20 m D.汽车启动过程中做的是加速度增大的加速运动

Δv解析

汽车在路口等候的时间为6 s，A项错误；汽车减速过程a＝Δt＝－2.5 m/s2，B项正确；减速过程的位移等于v－t图像与坐标轴围成的面积x＝20 m，C项正确；启动过程中，汽车做加速度越来越小的加速运动，选项D错误。

答案

BC 6.以20 m/s的速度行驶的汽车，制动后以5 m/s2的加速度做匀减速直线运动。则汽车在制动后的5 s内的位移是(

) A.45 m

B.37.5 m

C.50 m

D.40 m v1解析

汽车运动时间t＝a＝4 s＜5 s，则x＝2at2＝

12×5×4 m＝40 m，故D正确。

2答案

D 7.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图3所示，汽车通过AB两相邻的树用了3 s，通过BC两相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度和通过树B时的速度为多少？

图3 解析

设汽车经过树A时的速度为vA，加速度为a。

11对AB段运动，由x1＝vAt1＋at2知15＝v×3＋a×32

1A221同理，对AC段运动，由x2＝vAt2＋2at22知

130＝vA×5＋2a×52

两式联立解得：vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2

再由vB＝vA＋at

得：vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s。

答案

1 m/s2

6.5 m/s 能力提升

8.如图4所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔8 m设有一个关卡，各关卡同步放行和关闭，放行和关闭的时间分别为5 s和2 s。关卡刚放行时，一同学立即在关卡1处以加速度2 m/s2由静止加速到2 m/s，然后匀速向前，则最先挡住他前进的关卡是(

)

图4 A.关卡2

B.关卡3

C.关卡4

D.关卡5 v解析

由题意知，该同学先加速后匀速，速度增大到2 m/s用时t1＝a＝1 s，在加1速时间内通过的位移x1＝2at21＝1 m，t2＝4 s，x2＝vt2＝8 m，x1＋x2＝9 m＞8 m已过关卡2，当关卡关闭t3＝2 s时间内该同学在关卡2、3之间又通过了x3＝4 m，关卡打开，t4＝5 s，x4＝vt4＝10 m，此时关卡关闭，距离关卡4还有1 m，到达关卡4还需t5＝0.5 s，小于2 s，所以最先挡住他前进的是关卡4，故选项C正确。

答案

C 9.一物体做匀变速直线运动，它的v－t图像如图5所示，则在前4 s内(设向右为正方向)(

)

图5 A.物体始终向右运动

B.物体先向左运动，2 s后开始向右运动

C.前2 s物体位于出发点的左方，后2 s位于出发点的右方

D.在t＝4 s时，物体距出发点最远

解析

由v－t图像知：物体先向左做匀减速直线运动了2 s，再反方向匀加速直线运动了2 s，t＝4 s时回到了出发点，故选项B正确。

答案

B 10.(多选)质点做直线运动，其x－t图像如图6所示。关于质点的运动情况，下列说法正确的是(

)

图6 A.质点在0～20 s内的平均速度为0.8 m/s B.质点在0～20 s内的平均速度为1 m/s C.质点做单向直线运动

D.质点做匀变速直线运动

x16解析

质点在0～20 s内的位移为16 m，平均速度为v＝t＝20

m/s＝0.8 m/s，A正确，B错误；质点在0～20 s内v－t图像的斜率为正，说明质点一直朝正方向运动，由图线的倾斜程度可知质点的速度先增大后减小，不是匀变速直线运动，C正确，D错误。

答案

AC 11.有一个做匀加速直线运动的质点，它在两个连续相等的时间间隔内所发生的位移分别为10 m和16 m，时间间隔为2 s，则该质点运动的加速度a为________。

解析

解本题的关键是知道10 m和16 m是在两个连续相等的时间间隔内所发生Δx的位移。则由Δx＝aT2，可得a＝T2＝1.5 m/s2。

答案

1.5 m/s2

12.某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40 km/h。一辆汽车在学校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕，交警测量了车痕长度为9 m，又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间为1.5 s，根据以上材料判断这辆车有没有违章超速？

解析

汽车滑行9米停下来，可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动，则

12x2×9由x＝2at2，得a＝t2＝1.52

m/s2＝8 m/s2

v＝at＝8×1.5 m/s＝12 m/s＝43.2 km/h＞40 km/h。

此车超速。

答案

见解析