2.3.1 椭圆的参数方程教学创新设计

2.2．

椭圆的参数方程

一、教学目标

（一）核心素养

通过这节课学习，了解椭圆的参数方程及参数的意义、体会参数方程的应用，会选择适当的参数写出曲线的参数方程，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识．

（二）学习目标

1.知识与技能:

(1).椭圆的参数方程. (2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。

2.过程与方法: (1). 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数a,b的含义．

(2)．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力

(3). 通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．

3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。

（三）学习重难点

学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化

学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化

（四）学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习

二、教学设计

1．知识回顾

（1）写出圆方程的标准式和对应的参数方程．

xrcos圆x2y2r2参数方程

（为参数），

yrsinxx0rcos圆(xx0)(yy0)r参数方程为：

（为参数）

yyrsin02222．问题探究

探究一

结合旧知，类比探究椭圆参数方程★

1 / 4

●活动①

归纳提炼公式

x2y2上一节我们学习了圆的参数方程以及参数方程中参数的意义，那么椭圆221(ab0)的ab参数方程是什么呢，参数方程中的参数有何意义？

如右图，以原点O为圆心，分别以a,b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B ，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M.设xOA，由三角函数的定义有：

A(acos,asin),B(bcos,bsin)

设M(x,y)，依题意可得：

xacos(为参数)

ybsin当OA绕原点旋转一周时，就可以得到点M的轨迹方程了。消去参数得：x2y21(ab0)，即为点M的普通方程．

a2b2【设计意图】通过推导椭圆的参数方程，加深对参数方程的认识．

●活动②

归纳比较，认识区别

在圆的参数方程中，参数是圆的旋转角，椭圆的参数方程中的参数是否和圆的参数的几何意义类似呢？

由上推导过程发现：参数是M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，不是OM的旋转角称之为点M的离心角。

【设计意图】通过比较分析，进一步认识椭圆的参数方程．

2 / 4

探究二

理论应用、探究椭圆的参数方程的应用★

活动①

巩固基础，检查反馈

x2y2例2 在椭圆1上求一点M，使M到直线

l：x2y100的距离最小. 94【知识点】椭圆的参数方程、点到直线的距离

【数学思想】转化与化归的思想

x3cos【解题过程】因为椭圆的参数方程为(为参数)，故设点M的坐标为y2sin(3cos,2sin)，由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

345(cossin)103cos4sin10155d==5cos()10

55534其中满足cos,sin．

5598所以当0时，d取得最小值5，此时：3cos3cos,2sin2sin

5598故当点M位于(,)时，点M到直线的距离取得最小值5

55【思路点拨】将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．

98【答案】当点M位于(,)时，点M到直线的距离取得最小值5．

55例3.已知椭圆4＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．【知识点】椭圆的参数方程．

【解题过程】解：设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．则

sin φ＋12cos φ2cos φMB1的方程：y＋1＝2cos φ·x，令y＝0，则x＝，即|OP|＝1＋sin φ. sin φ＋1sin φ－12cos φ2cos φMB2的方程：y－1＝2cos φ·x，令y＝0，则x＝.

∴|OQ|＝1－sin φ. 1－sin φ2cos φ2cos φ＝4.即|OP|·∴|OP|·|OQ|＝1＋sin φ×|OQ|＝4为定值. 1－sin φ【思路点拨】将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求问题．

【答案】4. x2

3 / 4

【设计意图】巩固检查椭圆参数方程的应用，体会参数方程的优势．

●活动②

强化提升、灵活应用

练习：知实数x，y满足25＋x2y216＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值。

【设计意图】巩固检查参数方程的应用．

3.课堂总结

知识梳理

x2y2椭圆221(ab0)参数方程

abxacos（为参数）,参数的几何意义是以a为半ybsin径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角．

重难点归纳

（1）熟练掌握椭圆的参数方程与直角坐标方程的等价转化，体现了转化与化归的数学思想．

（2）与椭圆上的动点有联系的最值和定值等问题,运用参数方程往往可以化难为易,参数方程的主要价值在于坐标一元化及三角技巧的运用．

4 / 4