综合教学设计一等奖

兴化市楚水初级中学九年级数学集体备课资料

探索三角形相似的条件习题课

(一)

解读目标，明确范围

熟练掌握相似三角形的判定方法1、2：

两角分别相等的两个三角形相似

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

(二)

预习交流，人人过关

1．已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是下列图中的（

）

A

B

C

D

2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形的对数有（

）

A．0对

B．1对

C．2对

D．3对

第2题图

第3题图

第4题图

3．如图，要使△ADE和△ABC相似，请你添加一个条件

．

4．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，△AEF与△DCE是否相似？请加以说明．

(三)

梳理考点，形成体系

利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

例1．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=6，AC=4，AD=3，当AP的长度为

时，△ADP与△ABC相似．

利用两角分别相等的两个三角形相似

例2．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°，求证：△ACP∽△PDB．

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变式．如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点．

（1）当BD、BC和CE满足什么条件时，△ADB∽△EAC？

（2）当△ADB∽△EAC时，求∠DAE的度数．

(四)

典例讲解，展示提升

例3．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当BP等于多少时，△APB和△CPD相似？

例4．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6，CE=4，则DE的长为

．

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(五) 达标检测，反馈评价

1．如图，已知∠1=∠2，欲证△ADE∽△ACB，可补充条件（

）

A．∠B=∠C B．DE=AB C．∠D=∠E D．∠D=∠C

第1题图

第2题图

第3题图

2．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（

）

A．3 s或4.8 s

B．3 s

C．4.5 s

D．4.5 s或4.8 s 3．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（

）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

4．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点．

（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；

（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．

(六) 课堂小结，布置作业

1．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（

）

A．AC：BC=AD：BD

B．AC：BC=AB：AD C．AB2=CD•BC

D．AB2=BD•BC

第1题题

第2题图

第3题图

第4题图

第5题图

2．如图，∠1=∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（

）

A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

3．如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（

）

A．=

B．=

C．=

D．=

4．如图，P是△ABC的边AC上异于A、C一点，过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，那么这样的直线可以作的条数是（

）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

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5．在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有

个．

解：设AP=x，则BP=8﹣x，

当△PAE∽△PBC时，解得，x=，

=，即=，

=，即=，

当△PAE∽△CBP时，解得，x=2或6，

可得：满足条件的点P的个数有3个．

故答案为：3．

6．如图，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，D是BC边上的动点，E，F分别是AB，AC边上点．

（1）若BD=DE，且△BDE∽△CDF，求∠EDF的度数．

（2）若∠EDF=α，不改变α的值，以D为旋转中心，把∠EDF按顺时针或逆时针方向适当转动后，△BDE和△CDF始终保持相似，求α的值．

解：（1）∵∠A=50°，AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°﹣50°）=65°．

∴BD=DE，

∴∠B=∠BED=65°，

∴∠BDE=180°﹣∠B﹣∠BED=50°．

∵△BDE∽△CDF，

∴∠CDF=∠BDE=50°，

∴∠EDF=180°﹣∠BDE﹣∠CDF=80°．

（2）∵∠B=∠C=65°，

∴若∠BDE=∠CFD，则△BDE∽△CFD．

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CDF+∠CFD+∠C=180°，

∴α=65°，

即α为65°时，△BDE和△CDF始终保持相似．

7、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠ADE=90°，若△ABC固定不动，△ADE绕点A旋转，AD、AE与边BC的交点分别为F、G（点G不与点B重合，点F不与点C重合）．

（1）图中共有

对相似三角形．（△ABC∽△DEA外）

（2）请选其中的一对说明理由．

（3）若等腰直角三角形的斜边长为2，BF=m，CG=n、求m与n的函数关系式，并直接写出自变量n的取值范围．

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解：（1）依题意可知，△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF；再根据相似三角形的传递性，可得△ABF∽△GCA；

故本题答案为：3；

（2）证明：

∵△ABC与△ADE是全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠E=∠EAD=45°，

∵∠AFB=∠AFG，∠AGF=∠BAF，

∴△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF，

∴△ABF∽△GCA．

（3）由△ABF∽△GCA，

∴，

，

由依题意可知CA=BA=∴∴m=，

，

∵m＜2，

∴n＞1，

∴自变量n的取值范围为1＜n＜2．

【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两个角分别对应相等的三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例），还考查了勾股定理．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．

8．如图，在ABC中，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），BC=4，∠B=∠ADE=∠C=30°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

解：（1）∵∠B=∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，

∴∠ADC=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如图1，过点A作AF⊥BC于F，

∴BF=BC=2，

∵∠B=∠C=30°，

∴AB=AC==4，

∵△ABD∽△DCE，

∴，

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∴∴y=x2﹣，

x+4（0＜x＜4）；

（3）①当AD=DE时，如图2，

由（1）知，△ABD∽△DCE，

∴=1，

∴AB=CD，

∴4=4﹣x，

∴x=4﹣4，

代入y=x2﹣x+4中，

解得，y=8﹣4，

即：AE=8﹣4；

②当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

∴ED=EC，

∴y=（4﹣y），

∴y=，

即：AE=；

③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，

此时点D与点B重合，不符合题意，此种情况不存在，

即：AE的长为（8﹣4）和．