14.6 等腰三角形的判定主要内容及教案内容

浅探等腰三角形中分类讨论问题

鹤北初级中学 雷连胜

教学目标：

能决定所给等腰三角形题目是否需要分类讨论，能确定分类讨论的标准；且能根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题. 教学重点：正确进行分类讨论

一、当已知边不能确定是腰还是底边时，需讨论

例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，求周长。

简析：已知条件中并没有指明5和7谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是7，则此时等腰三角形的周长等于17；当7是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于19。故这个等腰三角形的周长等于17cm或19cm。

解（2）当腰长为5时，因为5+5<11，所以此时不能构成三角形；

当腰长为11时，因为11+11>5，所以此时能构成三角形，因此三角形周长为：11+11+5=27；

故这个三角形的周长为27cm。

说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应分类讨论，但必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。

二、当已知角不能确定是顶角或底角时，需讨论

例2. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30°

B. 75°

C. 105°

D. 30°或75°

简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。

例3、已知等腰三角形的一个外角等于1400，求它的各个内角。

分析：已知等腰三角形的一个外角等于1400，有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1400；与顶角相邻的外角等于1400。因此需要分类讨论；

解：（1）当顶角的外角等于1200时，则顶角=1800-1400=400，

∴每个底角=（1800-顶角）÷2=700；

（2）当底角的外角等于1400时，则每个底角=1800-1400=400；

∴顶角=1800-底角2=1800-4002=1000；

故三角形各个内角的度数为400，700，700或1000，400，400。

说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

三、当高的位置关系不确定时，需讨论

例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为350，求这个三角形的各个内角的度数。

分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要注意三角形的高可能在三角形内也可能在三角形外。

解：设AB=AC，BD⊥AC；

（1）高与底边的夹角为35时，高一定在△ABC的内部，

如图1，∵∠DBC=350，∴∠C=900-∠DBC=900-350=550，

∴

∠ABC=∠C=550，∠A=1800-2×550=700。

B0ADC

（2）当高与另一腰的夹角为350时，

图1

①如图2，高在△ABC内部时，

A

当∠ABD=350时，∠A=900-∠ABD=550，

∴

∠C=∠ABC=（180-∠A）÷2=62.5； 000DBC②如图3，高在△ABC外部时，∠ABD=35， 图2

∴∠BAD=900-∠ABD=900-350=550，∴

∠BAC=1800-550=1250， ∴∠ABC=∠C=（1800-1250）÷2=27.50 DA0∴三角形各内角为：550，550，700或62.50，62.50，550或1250，27.5，27.50。

说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐

B C角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

例5.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B=____________。

简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。

如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=50°，所以∠B=∠C=1（180°－50°）=65°。

2如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得

∠BAC=130°，所以∠B=∠C=1（180°－130°）=25°

2

五、由腰上的中线引起的分类讨论

例6. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为18cm和24cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

分析：已知条件并没有指明哪一部分是18cm，哪一部分是24cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得11xx18,xx24,x12,x16,22或解得或即当腰长是12cm时，底边y18,y10.1xy24,1xy18.22长是18cm；当腰长是16cm时，底边长是10cm。

说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

六、找点构造等腰三角形需讨论

例7 在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点P，使ΔAOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A、4个 B、6个 C、8个 D、1个

解：（1）、如图一，以OA为腰，以O为顶角顶点时，只须以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴分别交于P1（2,0）P2（0,2），P3（2,0），P4（0,2），分别连接P1A，P2A，P3A，P4A，可得到四个等腰三角形ΔOAP1，ΔOAP2，ΔOAP3，ΔOAP4

（2）、如图二，以OA为腰，以A为顶角顶点时，只须以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴分别交于P5（2,0）P6（0,2），分别连接P5A，P6A，可得到两个等腰三角形ΔOAP5，ΔOAP6，

（3）、如图三，当OA为底时，作OA的中垂线分别与坐标轴相交于P（，71,0）P8（0,1）。

P

P333P

P222AA

P

P111OO

P

P666AA

P

P555OO

图图三三

P

P888AA

OO

P

P444图图一一

P

P777图图二二

答案：选C