一元二次方程的概念第二课时教学实录

一元二次方程的概念及解法（1）

一、教学目标

1.通过具体实例掌握一元二次方程的概念及一般形式，了解一元二次方程的应用价值；

2.会用直接开平方法、因式分解法、配方法解一些简单的一元二次方程，建构解一元二次方程的基本思想、具体方法和理论依据的框架体系；

3.在探究一元二次方程解法的过程中，让学生进一步体会化归等思想方法，激发其自主探索未知知识的兴趣和优化选择的意识. 二、教学重、难点

1.教学重点：一元二次方程的概念及一般形式及用直接开平方法、因式分解法、配方法解特殊简单的一元二次方程. 2.教学难点：用配方法解简单的一元二次方程. 三、教学过程

（一）自主学习

1.在七年级、八年级的数学学习中，已经学过了哪几种方程？请各举一个实例说明，并求出方程的解. 2.你能用一张长16厘米，宽12厘米的硬纸片做成一个底面积为96平方厘米的没有盖的长方体盒子吗？试一试. 分析：在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就可以做成无盖的纸盒.问题是要使做成的盒子的底面积必须是96平方厘米，因而实际问题转化为数学问题，即是要求出截出的小正方形的边长. （1）你能根据题意列出方程吗？能尝试求出所列方程的解吗？

解：设截去的小正方形的边长为x厘米，则盒子的底面的长及宽分别为（16-2x）厘米和（12-2x）厘米

由题意得：（16-2x）（12-2x）=96 整理得：

学生发现，方程

不是已经学的一元一次方程，不会求解. （2）比较方程3x-5=0与方程

的异同点？

（3）类比一元一次方程，你能给上述方程命名吗？说说你的理由？

3.阅读人教版教材数学九年级上册第2—3页，学习研究一元二次方程的有关概念. 阅读要求：（1）阅读教材时，请把重要的字词和概念勾画出来；（2）尝试列举几个一元二次方程，并把方程化成一般形式；（3）正确认识所列方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 【设计意图】通过问题引导学生自主学习，培养自学能力.其中知识回顾既巩固了旧知，了解学生对已有知识的掌握情况，同时又为新知学习扫清障碍；提出问题是让学生经历由具体实际问题抽象出一元二次方程模型的过程.问题（3）是通过类比，学生由学习一元一次方程的经验，自主把新方程命名为“一元二次方程”，从而引出本节课学习和研究的内容.这样的设计，既找准了学生的认知起点，自然的引出新知，又有效激发了学生的求知欲望和探索精神，利于学生接受和理解新知. （二）交流分享

1.下列关于

的方程是不是一元二次方程？请说明判断根据. （1）

（2）

（3）

（4）

2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并说出方程的二次项、一次项系数. （

）

（2）3x

（3）

（说明：先让学生独立思考上述问题，然后选派代表分享对上述问题1～问题2的思考，并相互补充完善.）

提示：

方程（1）化简为：

①

方程（2）化简为：化简后：

②

方程（3）化简为：化简后：

③

【设计意图】教师根据学生的认知水平编制题目，引导学生练习和议论，加深学生对一元二次方程的相关概念的理解和掌握.其中习题1意在强调一元二次

方程的一般形式中的条件“a≠0”，强化对一元二次方程的定义的认识.习题2是对一元二次方程的一般形式等相关概念进行巩固.如果学生能正确解答问题1，说明学生初步掌握一元二次方程的概念；如果学生能正确解答问题2，可认为学生已理解一元二次方程的一般形式，具备一定的数学运算能力. （三）引导提升

教师引导学生探讨上面第2题中各方程化简后的方程①②③的解法和基本思路. 1.

你能运用所学的知识求出方程①

的解吗？

引导学生探索发现如下的两种方法：

方法一：将方程转化为“

（

）”的形式，根据开平方的知识就可以

解方程. 解：移项，得

两边开平方，得

∴

（由此归纳得出一元二次方程的第一种解法：直接开平方法）

方法二：根据因式分解的知识和“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式

至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积就等于0”可以解方程. 解：将方程的左边分解因式，得（x+2）（x-2）=0

令x+2=0或x-2=0 ∴

（由此归纳得出一元二次方程的第二种解法：因式分解法）

2.学生分小组探究方程②

和方程③

的解法. 请小组派代表上台展示对上述问题2的解答思路，并相互补充完善. 教师讲解：方程③

，也可以通过适当变形为左边是一个完

全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法求出方程的解，这种解法叫做“配方法”.

解：

∴x-1=4或x-1=-4 ∴

（给出解法：配方法）

3.小组探究用“配方法”解一元二次方程a

（a≠0）. 用配方法来解一元二次方程a

（a≠0），若有解，则它的解可用含系数a、b、c的式子来表示的，这个式子就是一元二次方程的求根公式，以后可以直接用这个公式来求一元二次方程，因此这种解法称为“公式法”. 【设计意图】通过引导学生对上述问题的解答，用不同的方法解一元二次方程，并总结不同方法的特点，可以使学生整体感知解一元二次方程的各种思路，避免各种解法之间的割裂，进一步巩固和应用新知，初步建构解一元二次方程的基本思路和基本方法的框架体系.如果学生能正确解答问题1和问题2，说明学生已初步掌握直接开平方法、因式分解法和配方法，具备一定的数学运算能力；如果学生能正确解答问题3，可认为学生学会了分类的数学思想，具备一定的数学抽象和数学运算素养. （四）归纳总结

1.通过本节课的学习，你知道一元二次方程的概念以及一般形式吗？请举一个一元二次方程的例子说明. 2.在本节课中，解一元二次方程有哪些方法？在这些解法中需要注意哪些问题？

3.在本节课的学习中，你领悟到哪些数学思想方法？这些思想方法可以帮助我们解决生活中的哪些问题？

【设计意图】通过归纳总结，引导学生对本节课所学的知识和方法进行梳理，加深对所学的一元二次方程的相关概念和解法的理解和掌握，初步感受类比与化归的数学思想. （五）达标反馈

1．下列方程中哪些是一元二次方程?如果是，请化为一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项

2．用适当的方法解下列一元二次方程.

【设计意图】通过达标反馈，了解学生的本节课学习是否达成了预期的教学目标，从中发现问题，查漏补缺，使学生进一步巩固和掌握新知.