*5 一元二次方程的根与系数的关系名师课堂实录

第二章 一元二次方程

《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

一、教学内容分析

本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

二、学生知识状况分析

“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.通过观察、归纳、猜想根与系数的关系，并证明此关系的成立，使学生理解其理论依据。

2.使学生会运用根与系数的关系解决有关的问题。

（二）过程与方法

1.由发现数字系数的一元二次方程的两根和、丙根积与方程系数的关系到引导学生去推导论证一元二次方程的两根和、两根积与系的关系及其应用。

2.经历观察、发现、猜想、证明的思维过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观

1

1.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认知事物的规律。

2.培养学生去发现规律的积极及勇于探索的精神。

四、教学重点

一元二次方程的根与系数的关系及其推导. 五、教学难点

正确理解一元二次方程的根与系数的关系及其灵活的运用. 六、教具准备

PPT、导学稿

七、教学方法

本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。

八、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：温故知新；第二环节：新知探究；第三环节：知识运用；第四环节：课堂小结（你学到了什么？）；第五环节：当堂检测；第六环节：课后作业。

教学

整合点

步骤

目标与内容

方法

与软件

【内容】

回顾一元1.一元二次方程的一般形式？

二次方程的2.解一元二次方程的方法有哪几种？

相关基础知3.一元二次方程的求根公式是什么？

识，学生很快【目标】

回答出来，层以问答的形式引导学生思考，回忆解层递进地引谈话法

温故知新

一元二次方程的方法，引入新课。有入新课（一元利于学生衔接前后知识，形成清晰的二次方程的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。

根与系数的

关系），从而

提高了学生自信心和学

2

【内容】

1.计算填表

问题： （1）思考：上表中每个方程的两个根的和、两个根的乘积与其系数之间有什么关系? （2）刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？

（3）请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax+bx+c=0

(a≠0)的根2

新知探究

引导发现法、小组合作学习法、讲授法

x1，x2与a、b、c之间的关系：____。

（4）你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）

【目标】

本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发、学生自主学习、小组交流学习成果，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的合作学习意识和创新精神。

【内容】

1.请你仿照课本50页例题，利用一元二次方程根与系数的关系，求方程2x23x40的两根和与两根积。

习的积极性。

1.在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。

2.问题串让学生合作解决，在合作探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。

3.在学生充分交流讨论、展示后，教师适时地进行精讲小结，使学生对新知有了更深入的理解。

知识运用

讨论法、小组合作学习法、讲授法

1.两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学3

2.游戏：我出题，你来答：出题人自编一个一元二次方程，并且任选一位同学，不解方程说出方程两根之和、两根之积。

3.已知方5x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

【目标】

“第1题”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，规范解题步骤。

“第2题”是培养学生思维敏捷性、严谨性和批判性，同时也增加了数学的趣味性；

“第3题”

展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。

生的易错点。

2.使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。

3.在学生充分交流讨论、展示后，教师适时地进行精讲小结，使学生的解题方法得到了优化，解题步骤也得到了进一步规范。

【内容】

1.一元二次方程的根与系数的关系,若ax2bxc0(a0)的两个根是学生通过回顾本节课的学习，感x1x2= . 课堂小结

受到公式推2.应用注意：

导的全过程，谈话法

（你学到了（1）转化为一般形式；（2）方程必发展了逻辑有两个实数根. 思维能力，提什么？）

高了推理技【目标】

能。

鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

x1、x2，那么就有x1x2 ，

4

当堂检测

学生能1、设x1、x2是方程2x25x80的两够较熟练地根，则两根之和为 ，两根之积运用一元二为 。

次方程根与系数的关系22、设x1、x2是方程5x10x6的两根，求两根和与两根积，学生则x1x2

， 可以体会到用根与系数x1x2= 。

的关系来解决稍复杂的3.一元二次方程x23x70的两根问卷法

相关数学问题。

x1,x2分别为，则【内容】

x1x2x1x2 。

4、已知方程2x2mx6的一个根是3，求它的另一个根及m的值。

【目标】

学生先独立完成当堂检测题，教师再进行讲解解题方法，使学生所学的知识得到进一步巩固。

22第二章

一元二次方程 课后作业

一元二次方程的根与系数的关系 课后作业

学生以独立完成课学生独后作业，使所立完成

学知识得到进一步巩固。

九、板书设计

第二章 一元二次方程

一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系,若ax2bxc0(a0)的两个根是x1、x2，cb那么就有x1x2,x1x2. aa

5

2. 应用注意：（1）转化为一般形式；（2）方程必有两个实数根. 十、教学反思

（一）成功之处

1.把课堂真正还给了学生，学生成为课堂的主体，突显出学生的主体地位；教师引导、组织学生参与自主学习和交流研讨，突出了教师的主导作用，时间把握到位，课堂流程清晰。

2.在用熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识的产生、发展的过程，注重了知识的应用。

3.设计贯穿以旧引新，从具体到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂、从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解并掌握推理的数学思想与化归思想。

4.通过这次的教学设计，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，提高了推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的合作意识和创新精神。

5.教师适时介入，通过精讲点拨，对重点和难点知识进行了总结和归纳，学生快速地掌握了一元二次方程根与系数的关系，并能够运用其解决相关的数学问题。

（二）不足之处

本节课，还有少数学生没有真正融入小组交流研讨中，讨论问题还不够深入，对所学知识理解的不够透彻，导致利用一元次方程的根与系数的关系解题时，思路不够清晰，方法不够优化，解题步骤还不够规范。

6

第三章

一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系 课后作业

一、选择题

1.若方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（

）

A．-4 B．3 C．-44 D．

332.一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（

）

A．x1=-1，x2=2 B．x1=1，x2=-2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2 3.已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（

）

A．4，-2 B．-4，-2 C．4，2 D．-4，2 4.若关于x的方程x2-2x+c=0有一根为-1，则方程的另一根为（

）

A．-1 B．-3 C．1 D．3 5.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为（

）

A．5 二、填空题

1.设x1、x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则x1+x2= ，m= ．

2.方程2x2-3x-1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= ．

三、解答题

1.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．求m的取值范围；

B．-1 C．2 D．-5

7

参考答案

一、选择题

1. D；2.C；3.D；4.D；5.B. 二、填空题

1.5；2.-2；3.4；3；4.13113；5. m＞；6.13；7.；8.-；9.3；10.2016. 4222三、解答题

1.解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，

∴△=22-4×1×2m=4-8m＞0，

解得：m＜12．

∴m的取值范围为m＜12．

8