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§7.1.2

平面直角坐标系

课题：平面直角坐标系（第七章第一节第二课时）．

教材：人教版实验教科书《数学》七年级下册．

教学目标：

1．初步掌握平面直角坐标系及相关概念；能由坐标描点，由点写出坐标．

2．经历知识的形成过程，引导学生用类比的方法思考和解决问题，进一步体会数形结合的思想，认识平面内的点与坐标的对应．

3．通过介绍相关数学史培养学生善于观察，勤于思考的品质．

教学重点：平面内点的坐标概念以及由坐标描点和由点写出坐标．

教学难点：认识平面内点与坐标的对应．

教学方法：启发引导与共同讨论．

教学手段：投影和计算机辅助教学．

教学流程：

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展示交流提出问题总结交流表示位置的不同方法复习数轴并提出研究问题：如何确定和表示平面内点的位置建立模型解决问题确定人大附中东门、南门的位置类比数轴的产生，建立平面直角坐标系，表示平面内任一点位置抽象概念辨析理解由坐标描点由点写坐标介绍数学史回顾总结本节课内容体会坐标的有序性，认识点与坐标的对应归纳总结提升认识激发学生兴趣，指导学生从知识与方法两方面总结

教学过程设计：

教学环节

教学过程

设计意图

一、

【上一节课后作业】

人大附中校庆，你作为志愿者如何为嘉宾描述学校东门的位置？

展

示

交

流

提

出

问

题

点评作业，复习巩固表示物体位置的方法，也为提出本节课的研究问题创设了情境，贴近学生生活的背景调

动学生的学习学生作业中提出可能的各种方案：

热情．

1．坐302路公交车，海淀黄庄南站下车就是人大附中；

2．海淀影剧院往南400米；

3．从海淀医院向东到海淀黄庄十字路口往南200米；

4．用图1表示：

西

北

200米200米

人大附中东门新中关东门黄庄路口

（图1）

5．按地图册里表示地理位置的方法（上北下南，左西右东）用图2表示；

北

中关村一桥

海淀医院海淀影院

东黄庄路口

人大附中

四通桥

（图2）

6．从黄庄路口向南200米，向西50米，用有序数对（200，50）表示．

……（也许还有其它的答案）……

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教师针对学生的各种回答及时鼓励、点拨．

教师简单总结作业：主要有文字语言描述、图形语言描述两类；重点点评两种描述方法(图1和图2)：

教学环节

教学过程

设计意图

在图1这种图示的方法中，将马路看成一条直线，将学校东门等地看作是

这条直线上的点，既简洁又清晰．

◆问题1 你能分别用一个数表示人大附中东门和新中关东门的位置吗？

肯定学生将实

以黄庄路口为原点，1米为单位长度，由南向北的方向为正方向，建立一条际问题数学数轴（如图3），就可以用数-200和200分别表示附中东门和新中关东门的化．

位置．

复习数轴及其三要素，为引西入新知识作铺北垫．

人大附中东门新中关东门黄庄路口

O-200200

（图3）

针对学生可能会有的不同表示方法（如：原点选择不同），引导学生体会：回顾数的正负把原点选在黄庄路口，可以用正、负数更好地区分附中东门与新中关东门可以表示相反在黄庄路口的不同方向上．

意义的量．

北

师：实际生活中，我们更习惯于“上北下南、左西

右东”的表示方法，将图3改成图4．

新中关东门200

小结：

在建立了数轴之后，这条直线上的点的位置可用一

个数（坐标）表示；借助数轴用正负数表示位置可以区分方向．

由研究直线上O黄庄路口

点的位置的表结合图2提出本节研究课题：

示过渡到平面师：

在这幅图中我们怎样用更简捷的方法表示位置内点的位置的呢？这正是我们这节课要研究的问题：如何表示平人大附中东门-200表示．

面内任意一点的位置．

（图4）

二、

【问题情境】

建

为了分流入场，还有一些嘉宾会从南门进入学校．

立

模

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型

解

决

问

题

新中关东门北

黄庄路口海淀南路O知春路人大附中东门人大附中南门中关村大街

设计意图

确定参照点，简化研究问题.

加深对用两个数表示平面内点的位置的认识．

引导学生充分教学环节

（一）

独

立

思

考

（二）

共

同

讨

论

教学过程

◆问题2 2.1

用几个数可以表示我校南门相对于黄庄路口的位置？

为了有一个统一的标准表示位置，确定了在学校附近、大家又比较熟知的黄庄路口作为参照点．

学生可能提出的方法：

①可以表示南门与黄庄路口的距离（如650米），再说明方向（如南偏西60゜）就可以了；

新中关东门200米北新中关东门200米北黄庄路口海淀南路O200米650米海淀南路知春路黄庄路口O200米知春路人大附中东门400米人大附中东门人大附中南门中关村大街500米人大附中南门

中关村大街

②可以分别表示附中南门到海淀南路与中关村南大街的距离．

针对学生提出的两种方法，教师追问：

2.2

只用其中的一个数表示位置可以吗？

新中关东门200米北新中关东门200米北黄庄路口海淀南路O200米650米海淀南路知春路黄庄路口O200米知春路人大附中东门400米人大附中东门人大附中南门中关村大街人大附中南门

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中关村大街

①只用一个数650，可以表示以黄庄路口为圆心，650米长为半径的圆上的所有点的位置；

②只用表示方向的角（如南偏西60゜）可以表示平面上的许多点，它们都在射线上；

③只用400（或500）可以表示平面上许多个点，它们都在一条直线上．

在此思维冲突基础上，明确确定平面内点的位置只用一个数不可以，应该用两个数（有序数对）表示．

师：用怎样的有序数对表示？

（三）

学生答案可能会有：用有序数对（400，500）、（500，400）、（-400，500）、类

（-500，-400）…表示．

比

2.3

表示的位置相同，为什么有序数对不同？

建

①因为数对的顺序不同，不妨约定先西后南，这样就统一了；

系

②利用正负可以区分方向．

教学环节

教学过程

讨论，教师适时点评．

体会没有约定序的数对不能确定位置．

设计意图

引导学生类比着再建一条数轴．

鼓励性评价．

体会表示方法的一般性．

师：以黄庄路口为原点，竖直方向的数轴，可以区分南北；怎样区分东西方向？

再建立一条水平方向的数轴，就可以利用数的正、负区分东西方向了．

师：你们简直不得了，这样表示位置的方法就是平面直角坐标系，是当年

大数学家笛卡儿发现的．笛卡儿是17世纪法国杰出的数学家、是近代生物

学的莫基人、是当时世界一流的物理学家．

◆问题3 （四）

借助平面直角坐标系是否可以表示平面内任意一点相对于黄庄路口的位解

置？

决

针对图中其它标志性建筑位置，练习说出有序数对. 问

题

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新中关东门北海淀南路黄庄路口O200知春路知春大厦北门400米人大附中东门600米人大附中南门500米-600中关村大街200米郭林家常菜

小结：建立两条相互垂直、且原点重合的数轴，就可用有序数对表示平面内点的位置. 三、

抽

象

概

念

辨

析

理

解

引导学生总结：

（1）平面直角坐标系的定义．

（2）介绍各部分名称.并在图中标出x轴（横轴），y轴（纵轴），原点．各象限.

注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限. （3）坐标的定义：由点分别向两轴作垂线，垂足在x轴的坐标a叫做该点的横坐标，垂足在y轴的坐标b叫做该点的纵坐标，有序数对(a，b)就叫做点的坐标．

【活动1】由坐标描点

1．请你画一个平面直角坐标系（学生相互评判强调细节之处）．

2．在你画的坐标系中，描出下列各点，并顺次连结，绘制出图案．（3，6），（3，3），（1，1），（1，-1），（3，-3），（-3，-3），（-1，-1），（-1，1），（-3，3），（-3，6）．

教学过程

问题（1）

怎样描点（3，6）？

先在x轴上找出表示3的点，再在y轴上找出表示6的点，过这两个点分别作x轴、y轴的垂线，垂线的交点就是点（3，6）．

学生描点，教师巡视；学生相互纠错（图形非奖杯者必有点描错）．

问题（2）

点（3，-3）和点（-3，3）表示同一个点吗？说明什么？

一般情况下，点的横纵坐标不能颠倒，点的坐标是有序数对．

问题（3）

每一个坐标对应一个点，你能用学过的知识解释吗？

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至此形成平面直角坐标系的概念，已水到渠成．

落实正确画出坐标系的技能．

教学

环节

设计意图

落实由坐标描点的方法，并从感性上体会由坐标到点的对应．

体会坐标的有序性．

从理性上体会

两条直线相交，有且只有一个交点．

【活动2】由点写坐标

y3

( a，b)b2点一一对应1坐标c-3-2-1o-112a3x-2d-3

学生做操图片，练习用坐标表示同学们的位置．

问题（1）

在坐标平面内，怎样写出点P的坐标？

分别过点P向x轴、y轴引垂线，垂足所对应的数分别为a、b，则点P的坐标为（a，b）．

问题（2）

一个点的坐标有几个？为什么？

只有一个，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

师：我们已经知道直线上的点与数（坐标）是对应的，那么坐标平面上的点与有序数对（坐标）是对应的吗？

学生讨论：通过刚才的研究我们发现，平面上的点对应唯一一对坐标，反过来，一对坐标也对应唯一一个点，这表明坐标平面内

的点与坐标一一对应．

这种思想很重要，同学们在将来的学习中还会遇到，请注意体会．

点

——

坐标

（形）——

（数）

教学

环节

教学过程

问题（3）

观察平面内点的坐标，特殊位置的点的坐标有哪些特征？

由坐标到点的对应．

形成数学来源于生活又服务于生活的认识．

落实由点写坐标的方法，从感性上体会由点到坐标的对应．

从理性上体会由点到坐标的对应．

类比提出问题．

设计意图

提出开放性的问题，给下节课学习特殊位置点的坐标作铺垫．

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y87654321-8-7-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6-7-812345678y87654321y8765432112345678x-8-7-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5x-8-7-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-512345678x

形

-6-7-8

数

横坐标

-6-7-8

若学生回答无序，教师引导，解决这样一个问题应该分类．并列表示范：

点的位置

第二象限（x轴上方，y轴左侧）

体现形数转化．

纵坐标

x0

y0

融入史料，激发学生的学习兴趣，同时培养学生善于思考、发现问题、提出问题的好品质．

学法指导——怎样小结一节课．

四、

归

纳

总

结

提

升

认

识

【了解历史激发兴趣】

师：前面提到这种方法是数学家笛卡尔提出的，你知道他是怎样想到这种方法的吗？

【相关数学史】

关于笛卡儿和平面直角坐标系，有一个有趣的传说：有一天，笛卡儿生病卧床，他看见屋顶有一只蜘蛛，就想怎样确定它的位置？他见蜘蛛拉着丝垂了下来．一会儿，蜘蛛又顺着丝爬了上去，在上面左右拉丝.蜘蛛的“表演”使笛卡儿豁然开朗，他想，可以把蜘蛛看成一个点，它在屋子里可以向上、向下、向左、向右运动，那能不能用横线和竖线描述蜘蛛在网上的位置呢？如果将蜘蛛网看成一个平面，就可以用一组数（a，b）表示平面上的一个点，平面上的一个点也就和一组有序的数对应起来了．于是，在蜘蛛网的启示下，笛卡儿创建了平面直角坐标系．

师：从这个传说中可以看出笛卡儿是个勤于思考的人．像瓦特看到蒸汽顶起水壶盖发明了蒸汽机一样，笛卡儿在创建平面直角坐标系的过程中，受到周围一些事物的启发，触发了灵感．我们一定要善于观察、勤于思考．

师：谈谈你学习本节课在知识和方法上的收获？

学生可能从以下几方面总结：

1．了解并会画平面直角坐标系．

2．我学会了由点写坐标，由点的坐标描点．

3．在学习过程中，我体会到了，平面内的点与有序数的对应．

4．数学知识来源于实际生活．

5．数学符号太简捷了！

教学过程

教学

环节

设计意图

师强调：

1．实际问题到数学问题再到实际问题．

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2．文字语言到图形语言再到符号语言．

3．类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想．

华罗庚说“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．”数形结合的思想方法今后我们会常用到．

【作业】

A层：教材练习题；．

B层：特殊位置的点的坐标有哪些特征？

C层：查阅资料：了解平面直角坐标系以外的各种坐标系．

板书设计：

§7.1.2

平面坐标系

—如何确定平面内任一点的位置

直线上的点

一个数

（400，500）

平面内的点

两个数

（500，400）

点

坐

标

（-400，500）

（-500，-400）

满足学生多样化需求．

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