7.5 解直角三角形教案设计

解直角三角形

一、教学目标

1、理解直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，了解确定一个三角形和解直角三角形所需条件的一致性.

2、经历对满足什么条件可解直角三角形的问题分析过程，体会从一般到特殊的思考方法.

3、会解直角三角形；会选择合理的算法.

4、通过师生共同探索，体验独立思考与合作交流的学习过程；渗透分类讨论、化归等数学思想，激发学生探索数学的热情和兴趣。

二、教学重难点

教学重点：解直角三角形的基本方法．

教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用

三、教学过程

活动1

知识准备

31．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝5，则AB＝(

) A．15

B．12

C．9

D．6 2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 3，AB＝10，则∠B＝____度．

活动2

教材导学

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝2 3，

①利用“直角三角形的两个锐角互余”，得∠B＝90°－∠A＝____________；

②利用锐角三角函数，得sinA＝＝____，从而得c＝____；

③利用锐角三角函数，得tanA＝＝____，从

而得b＝____．

在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，知道一些元素，就可以求出另外的元素．

根据以上解题过程，你来总结一下直角三角形中常用边角关系的结论吧！

(2)思考：在直角三角形中，若只知道直角三角形的两个锐角，你能求出直角三角形的边吗？

尝试：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝2 3，解这个直角三角形．

新知梳理

知识点一

解直角三角形的定义

由直角三角形的边、角中的______元素，求出所有边、角、中的________元素的

过程，叫做解直角三角形．

[说明] 必须是已知直角三角形除其直角外的两个元素(其中至少有一个是边)，才可以求出另外三个未知元素．

知识点二

解直角三角形的依据

如图7－5－1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有下列表达式：

(1)锐角之间的关系：

∠A＋∠B＝_______．

(2)三边之间的关系：_____________．

(3)边、角之间的关系：sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____．

探究问题一

解直角三角形

例1解下列直角三角形．

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝2 2；

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2 3. [解析] (1)先根据已知条件，并利用三角函数求出∠B的度数，从而能得到另一个角，再根据勾股定理得出另一个边的长．

(2)直角三角形的两个锐角互余，并且在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，解直角三角形就是由直角三角形中的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程．

解：(1)BC＝AB2－AC2＝8－2＝6. AC21∵sinB＝AB＝＝2，

2 2∴∠B＝30°，

∴∠A＝90°－30°＝60°. (2) 在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°. BC3∵tanA＝AC＝tan30°＝3，

3∴BC＝3×2 3＝2. BC1∵sinA＝AB＝2，

∴AB＝4. [归纳总结]解直角三角形要理解为“知二求三”，即已知直角三角形中除直角外的两个元素(至少有一个是边)，就能求出其余的三个元素．

探究问题二

构造直角三角形求边和角

例2

如图7－5－2所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 3，D在AC上且AD＝BD，∠DBC＝30°，求CD，AD，∠A，∠ABD.

图7－5－2 [解析] 图中有两个直角三角形，Rt△BDC和Rt△ABC，但每个直角三角形都不能直接求解，这时可设CD＝x(x>0)，则BD＝2x＝AD，BC＝3x，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，从而得到方程(3x)2＋(3x)2＝(4 3)2，解得x＝2，即CD＝2，AD＝4，∠BDC＝60°，∠A＝30°，∠ABD＝30°. 解：设CD＝x，则BD＝2x. DC在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，tan∠DBC＝BC，

DCx∴BC＝＝＝3x. tan∠DBCtan30°又∵AD＝BD，∴AD＝2x. 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，

即(4 3)2＝(x＋2x)2＋(3x)2，

解得x＝2，∴CD＝2，∴AD＝4. 在Rt△DBC中，∠BDC＝90°－∠DBC＝60°，

∴∠A＋∠ABD＝60°.又∵AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD＝30°. [点评]对于不可直接解的直角三角形，一般通过构建未知边的方程，借助于方程思想求解．

课堂练习：

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=6，则c=_______，tanA=______．

3.如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高，ABBC，DCBC，两建筑物间距离BC30米，若甲建筑物高AB28米，在A点测得D点的仰角45°，则乙建筑物高DC＝_________米．

课堂小结：

布置作业：必做题：课本P85

3.4

选做题：补充习题