6.2 黄金分割国家优质课一等奖

6.2黄金分割

学习目标：

1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活的各个领域有

价值的运用；

2、会找一条线段的黄金分割点；

3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系；

4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识；

重点：了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义；

难点：怎样作一条线段的黄金分割点。

课前预复习：

阅读教材P44～P45内容。

一、复习：

前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例的性质，什么叫成比例线段？比例有哪些性质？什么叫比例中项？

二、情境创设：

C

C

B

[来源:学科网]B

A A

1、P44欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；

2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；

3、观察P45“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？

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三、让我们一起来探究并解决问题吧：

34 1、探索活动：

活动一、计算AB（或ACBC）的值，引入黄金分割的概念。

AB

1 A B C

把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果ABBC，那么线段AC被点B黄金分割。（有一种通俗的说法是：较小的线段与较ACAB[来源:Zxxk.Com]大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）

解：设AC＝x，AB＝1，则由AC2＝BC·AB得：x2＝（1—x）·1，∴x2 + x—1＝0，

[来源:学+科+网Z+X11∴x2 + x+＝5，∴（x＋）2＝5，∴……，∴x51，又∵＜1，∴x＝51≈0.618

224244BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比. 注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；

（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？

E D C D C

A A B B F

活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）

1、作顶角为36°的等腰△ABC；

A 2、分别量出底边BC与腰AB的长度；

3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度；

D 最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）

问：比值是多少？

大约是0.618 B C 所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：

[来源:Zxxk.Com]（1）BC0.618；

AB（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；

（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；

A

活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，

M H （1）找出图中的黄金三角形；

B E （2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？

N G 解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、

F △BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；

C D （2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……………

例题讲解：

例1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？

2

例2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ oC (精确到1 oC)。

ACB例3、如图，点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则AC2＝________；（结果保留根号）

例4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽等于_________；（结果保留根号）

课后练习：

一、选择题

1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为

(

)

A．12．36 cm

B．13．6 cm

C．32．36 cm

D．7．64 cm 2．一条线段的黄金分割点有

(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．无数个

[来源3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC．如果ACBC，那么下列说法错误ABAC的是

(

)

A．线段AB被点C黄金分割

B．点C叫做线段AB的黄金分割点

C．AB与AC的比叫做黄金比

D．BC与AC的比叫做黄金比

4．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0．618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0．60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为

(

)

A．4 cm

B．6 cm

C．8 cm

D．10 cm

5．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2 m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下[来源:学科网ZXXK]部的设计高度(精确到0．01 m，参考数据：21.414，31.732，52.236)是(

)

A．0．62 m

B．0．76 m

C．1．24 m

D．1．62 m 二、填空题

6．据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．

[来源:学科网Z|X|X|K]

3

7．如图，若点C是AB的黄金分割点．AB=1，则AC≈_______，BC≈______．

8．在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，得点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10 cm．则AD≈_________cm．

9．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6 m，则这个黄金矩形的宽约为________m(精确到0．1 m)．

三、解答题

10．若线段AB=4 cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少?

11．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体如果舞台AB的长为20 m，那么主持人应走到离点A多少米处时才是比较得体的位置(精确到0．1 m)?

12．如果在一个矩形ABCD(AB＜BC)中，AB510.618，那么这个矩形称为黄金BC2矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFF(如图所示)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明理由．

[来源:学§科§网]

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参考答案

1．A

2．B

3．C

4．C

5．C

6．23

7．0．618

0．382

8．6．18

9．3．7

10．2．472 cm或1．528 cm

11．12．4 m或7．6 m

12．矩形ABFE是黄金矩形．因为AD=BC，DE=AB，

所以AEADDEBCABBC251，

11ABABABAB251所以矩形ABFE是黄金矩形

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