12.1 实数的概念课时教案

§12．1 实数的概念

普陀区课题组

教学目标：

1．通过动手操作体验发现无理数的过程，知道无理数是客观存在的数．

2．通过对比分析，理解无理数只能是无限不循环小数，会辨别无理数．

3．了解数的范围从整数到有理数、再到实数的扩展过程，知道实数的分类，体会分类的数学思想．

教学重点：无理数、实数的概念以及实数的分类．

教学难点：有理数与无理数的区别．

教学过程：

教师活动

学生活动

教学设计意图

一、复习引入

教师设问：

(1)我们已经学习了有理数，请你举出几个有理数？

(2)

和

统称为有理数．

如果把整数看成是分母为1的分数，那么有理数都可以用统一的形式表示为用两个整数之比前两个问题引导学生复习已有的相关2(1) 2，等

知识，第三个问题设置3(2) 整数和分数

疑问，引发学生的思

考，带着这样的困惑和

好奇学习新知．

p表示的分数：（q≠0）

q

p(3)是不是所有的数都能表示为分数（p、q(3)不是，比如：π就不能

q

表示为该形式．

都是整数，且q≠0）的形式？

二、学习新知

1．

操作剪拼正方形引出2．

能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正

通过操作，让学生方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何感受2的现实意义，表示？

并认识到用已有的有

理数不能准确表示这

一线段长度，因而需要2x2师：如果设该正方形的边长为x，那么，寻找一种新的数来解即x是这样一个数，它的平方等于2．这个数决问题．

表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中或本节中“”的真实存在的线段长度．由于这个数和2有关，

出现先于定义，暂只作我们现在用2（读作“根号2”）来表示．

为一个记号，其含义待

下一节课详述．

答：

问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？

答：分别用3、5来

2不是有理数，表示．

2．

说明2是一个无限不循环小数．

问：前面讲到有理数就是分数，分数可以化为

什么小数？

答：有限小数或无限循环小数．

师：古希腊数学家希帕斯发现2不是分数，

也就是说2不是有理数，也就不能是有限小

数或无限循环小数，那么它是无限不循环小数．

问：除了2

，无限不循环小数还有吗？

此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，

答：3、5、π……

如：0.202002000200002……、

0.1234567891011121314……等．

三、实数的概念

1．无理数

无限不循环小数叫做无理数．无理数也有正、

负之分．只有符号不同的两个无理数，它们互

为相反数．

比如：2与2、π与–π它们互为相反数．

板书：

2．实数

板书：

有理数和无理数统称为实数．

例题1

将下列各数放入图中适当的位置：

详细推理过程可参见课本P36的阅读材料，教师可针对班级学生的情况讲一遍（全班或部分）．

举例是否存在其它的无限不循环小数，说明无限不循环小数普遍存在．

在前面的基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性．

实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，领会分类思想．

例题1从不同的角度帮助学生理解实

7π、0.3737737773…（它们的位数无限且相邻两

个“3”之间“7”的个数依次加1个）．

问：在这个图中你有什么发现？

答：实数的分类，以及它解：

们的包含关系．

例题2 判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1) 无限小数都是无理数；

(2) 无理数都是无限小数；

(3) 正实数包括正有理数和正无理数；

(4) 实数可以分为正实数和负实数两类．

解：(1)无限小数包括无限循环小数和无限不循

环小数，其中无限循环小数是有理数，所以(1)

不正确．

(2)无理数是无限不循环小数，当然也是无

限小数，所以(2)正确．

(3)正实数按有理数和无理数分类，可分为

正有理数和正无理数，所以(3)正确．

(4)因为零是实数，但它既不是正实数，也

不是负实数，而在(4)的实数分类中没有把零包

含在内，所以(4)不正确．

【适时小结】

实数还可以这样分类：

3、.20、–2、2、4、3.14、022、5、数范围中各类数的概念．题中227应注意，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴．

例题2是为了帮助学生进一步理解实数范围中各类数的概念．第（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论．

引导总结实数的另一种分类办法．

四、巩固练习

1231．在7、0.013、2、0、2、、π、

72

0.3和0.818118111811118（每相邻两个

“8”之间的“1”的个数从左到右依次递增且

是无限小数）中，无理数有

，

正有理数有

，

非负数有

，

整数有

．

2．请写出几个在3和4之间的无理数．

π、3.2517431……、11

等

3．课本P5

练习2

五、课堂小结

预设学生：

谈谈这节课你有什么收获、体会或想法? 1．无限不循环小数叫做

无理数．

2．有理数和无理数统称

为实数．

思想方法：分类思想

3．实数的不同分类．

六、布置作业

练习册：习题12.1

帮助学生进一步理解实数范围中各类数的概念．

梳理知识点，培养学生归纳反思的能力．